Постановка задачи.

Постановка задачи: известны статистические свойства входного случайного сигнала Х_вх(t), то есть известна n-мерная плотность вероятности при n, стремящемся к бесконечности, известны характеристики цепи.

Надо найти n-мерную плотность вероятности выходного сигнала Х_вых(t) при n, стремящемся к бесконечности.

Любую нелинейную цепь можно представить в виде совокупности нелинейного элемента (НЭ) и линейного фильтра.

С точки зрения прохождения случайного сигнала нелинейная РЭЦ содержит два узла с противоположными свойствами:

1) Линейный фильтр – очень трудно, а в общем случае невозможно, найти закон распределения случайного сигнала на выходе линейного фильтра, зато легко находятся энергетический спектр, АКФ и неслучайные числовые характеристики.

2) Нелинейный элемент – ниже будет показано, что довольно просто на выходе НЭ находится закон распределения, зато трудно найти АКФ и энергетический спектр.

Следовательно, в общем случае задача прохождения случайного сигнала через нелинейную РЭЦ не имеет решения. Поддаются решению лишь частные задачи.

§2. Преобразование одномерного закона распределения случайного сигнала нелинейным безинерционным элементом.

Постановка задачи: известны одномерный закон распределения W(x) случайного сигнала X(t) и характеристика НЭ y=y(x). Требуется найти одномерный закон распределения W(y) случайного сигнала Y(t).

В математике подобная задача формулируется как нахождение закона распределения функционально преобразованной случайной величины.

При решении этой задачи возможны три случая:

1) Обратная зависимость x=x(y) существует и однозначна, то есть каждому значению y соответствует единственное и вполне определенное значение х.

dx, dy – бесконечно малые приращения.

Вероятность попадания у в интервал от у до у+dy равна вероятности попадания х в интервал от х до х+dx.

(1) – решение задачи.

2) Обратная зависимость х=х(у) существует, но не однозначна, то есть каждому значению у соответствуют несколько вполне определенных значений х.

Вероятность попадания у в интервал от у до у+dy равна сумме вероятностей попадания х в соответствующие интервалы:

В общем случае, когда число значений х равно n:

(2)

3) Для некоторых значений у обратная зависимость х=х(у) не существует. Эти значения у будем называть особыми точками.

Пример:

Во всех точках у, кроме у₀, W(y) находится либо по формуле (1), либо (2).

Для особой точки y=y₀:

(3)

Примеры:

1) X(t) – гауссовский случайный сигнал с нулевым матожиданием и дисперсией .

- квадратичная зависимость.

,

2) X(t) – случайный сигнал с равномерным распределением.

Характеристика нелинейного элемента: ,

Равномерный закон распределения.

,

3) X(t) – нормальный случайный сигнал

Характеристика нелинейного элемента

Выделим три области значений :

─ :

:

;

– гауссовский закон распределения

:

4) - случайный сигнал с релеевским законом распределения;

Характеристика нелинейного элемента – ступенчатая.

Показать, что .