Кинетика ферментативных процессов

Реакция первого порядка

Рассмотрим реакцию первого порядка (концентрации равны: ).

Скорость реакции равна , где k — константа скорости реакции первого порядка. По закону сохранения вещества, суммарная концентрация продукта и субстрата в каждый момент времени равна начальной концентрации субстрата : , где t — время.

Итак, имеем уравнение:

(1.5)

Решая дифференциальное уравнение (1.5) методом разделения переменных, получаем:

(1.6)

Значение константы const определяется, исходя из начальных условий: при t = 0 и . Таким образом,

Подставляя найденное значение константы в формулу (1.6) и выражая искомое , получаем решение:

. (1.7)

Пример1.7. Определите константу скорости реакции, если 99% субстрата перешло в продукт через 5 секунд после начала реакции.

Решение: Переход 99-ти процентов субстрата в продукт означает, что . Подставляем в формулу (1.7):

,

,

,

.

РеакцияМихаэлиса-Ментен

Рассмотрим базовую модель ферментативной реакции, предложенной Михаэлисом и Ментен. Цель исследования – определить скорость реакции, катализируемой ферментом. Схема реакции: .

Субстрат S образует с ферментом E фермент-субстратный комплекс ES (реакция обратимая); затем этот комплекс распадается на фермент и продукт P (реакция необратимая); – константы скоростей реакций.

Искомая скорость – скорость реакции : .

Итак, пусть x – концентрация комплекса ES; e₀ – суммарное количество фермента, участвующего в реакции; s концентрация субстрата. Тогда

. (1.8)

Пусть концентрация субстрата значительно превышает концентрацию фермента. Это значит, что в системе будет достигаться квазистационарное состояние, в котором концентрация фермент-субстратного комплекса постоянна, или . Тогда из уравнения (1.8) получаем:

.

Скорость образования продукта в условиях постоянной концентрации фермент-субстратного комплекса равна: . Введем обозначения: . Тогда выражение для скорости протекания реакции по механизму Михаэлиса-Ментен принимает вид:

— уравнение Михаэлиса-Ментен.

Величина — максимальная скорость протекания реакции (весь фермент связан в комплекс). Величина называется константой Михаэлиса. При скорость реакции равна половине максимальной.

Пример1.8. Постройте график зависимости скорости протекания ферментативной реакции по механизму Михаэлиса-Ментен v в зависимости от величины v/s. Как определить по графику и ? Чему соответствуют точки пересечения с осями?

Решение: Запишем уравнение Михаэлиса-Ментен: . Умножим обе части уравнения на выражение и раскроем скобки: . Делим обе части на :

, , . Получили зависимость от аргумента . Эта зависимость является линейной функцией, на графике изображается прямой (рис.1.6) с отрицательным углом наклона, тангенс которого равен . При . Скорость будет равняться нулю при .

Рис. 1.6. График зависимости скорости v протекания реакции по механизму Михаэлис-Ментен от отношения v/s (пример 3.2.)

Задачи

1.1. Найдите стационарные состояния уравнений:

; ;

; ;

; .

1.2. Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки до 4 порядка:

, ; , ;

, ; , ;

, ; , .

1.3. Пусть . Определите по графику функции устойчивость всех стационарных состояний системы.

1.4. Пусть . Найти стационарные состояния уравнения и определить их тип устойчивости с помощью графика функции :

; .

1.5. Пусть . Постройте график зависимости величины стационарного значения переменной x от значений параметра b. Сколько стационарных состояний имеет уравнение при ?

1.6. Определите тип особой точки системы линейных уравнений:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

1.7. Постройте фазовый портрет для каждой из систем задачи 1.6 в окрестности стационарного состояния: а) отметьте стационарные точки на фазовой плоскости; б) постройте главные изоклины; в) по главным изоклинам постройте несколько интегральных кривых с различными начальными условиями; г) стрелкой укажите направление движения изображающей точки вдоль интегральных кривых при .

1.8. Постройте фазовую траекторию в окрестности стационарной точки, соответствующую кинетическим кривым, изображенным на рисунке. Определите тип стационарного состояния. , – начальные условия

а)

File: task1_8_a_a

б)

File: task1_8_b_б

в)

File: task1_8_c_в

г)

File: task1_8_d_г

1.9. Постройте в едином масштабе времени кинетические кривые, соответствующие фазовой траектории с начальными условиями в т. А. Укажите тип особой точки:

a)

File: task1_9_a_a

б)

File: task1_9_b_б

в)

File: task1_9_c_в

г)

File: task1_9_d_г

1.10. Проведите линеаризацию системы дифференциальных уравнений в окрестности нулевого стационарного состояния и определите его тип устойчивости:

а) б)

в) г)

1.11. Проведите полный анализ систем уравнений: 1) найдите стационарные состояния; 2) линеаризуйте системы в окрестностях стационарных состояний; 3) определите тип устойчивости стационарных состояний; 4) постройте фазовые портреты.

модель взаимоотношений типа хищник-жертва

а) б)

модель конкуренции одинаковых видов с учетом внутривидовой конкуренции

в) г)

1.12.Определите тип стационарных состояний на всей плоскости допустимых значений параметров. Укажите область значений параметров, в которой возможно существование предельного цикла.

модель брюсселятора (биохимический осциллятор)

а) ; б) ;

модель гликолиза

в) ; г) ;

модель генератора Ван дер Поля

д) .

1.13. Определите константу скорости реакции первого порядка, если 99% субстрата перешло в продукт через 5 секунд после начала реакции?

1.14. В реакции первого порядка начальная концентрация субстрата равна 1мМ. Какое количество субстрата прореагировало за первую секунду, если константа скорости реакции равна 1с^-1?

1.15. Концентрация субстрата в начале реакции равна 5 мМ, константа скорости реакции первого порядка равна 0,5с^-1. Постройте график зависимости логарифма концентрации субстрата от времени. Укажите координаты точек пересечения графика с осями.

1.16. В ходе реакции первого порядка за первые 3с образовалось 3мМ продукта. Определите начальную концентрацию субстрата, если известно, что константа скорости реакции равна 0,01с^-1.

1.17. Максимальная скорость реакции по Михаэлису – Ментен равна 10единицам. Константа Михаэлиса равна 0,5единиц. Постройте график зависимости скорости протекания реакцииот начальной концентрации субстрата в координатах:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Как определить по графику и ? Чему соответствуют точки пересечения графика с осями координат (в общем виде и численно)?

1.18. Определите с помощью графика параметры уравнения Михаэлиса – Ментен. Укажите размерности переменных и параметров, входящих в уравнение Михаэлиса – Ментен.