Прямолинейные колебания точки
4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.
Рассмотрим точку М, движущуюся под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру и пропорциональной расстоянию от этого центру.
Проекции силы на ось Ox будет равна
Сила , как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где
Рис. 3.7
Найдём закон движения точки С, составим дифференциальные уравнения движения
(30)
Деля обе части на m и вводя обозначение
приведём уравнение к виду
(31)
Уравнение (31) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого однородного дифференциального уравнения ищут в виде . Полагая в уравнении (31) , получим для определения n так называемое характеристическое уравнение, имеющее в данном случае вид: .
Общее решение уравнения (31) имеет вид:
(32)
Если вместо постоянных и ввести постоянные и , такие, что , , то получим:
или
(33)
Скорость точки в рассматриваемом движении
(34)
Колебания, совершаемые точкой по закону (32), называется гармоническими колебаниями. График их при
Рис. 3.8
Рассмотрим точку B, равномерно на окружности из скольжения , определяется углом . Пусть постоянная угловая скорость вращение радиусов равна . Тогда в произвольный момент t угол и легко увидеть, что проекция М точки В на диаметр движется по закону . Величина а – называется амплитудой колебаний - фазой колебаний. Величина определяет фазу начала колебаний (начальная
Рис. 3.9 фаза). Величина называется круговой частотой
колебаний.
Промежуток времени Т в течении которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на . Следовательно откуда
(35)
Величина - частота колебаний.
Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами:
1. амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий
2. частота k, а следовательно и период Т от начальных условий не зависят.
Рассмотрим влияние постояннойсилы на свободные колебания точки.
Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F действует постоянная по модулю и направлению сила Р. Величина силы F по прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т.е. .
Очевидно, что в этом случае положением точки М будет центр , отстраненной от оси О на расстояние , которое определяется равенством
или (36)
- статическое отклонение точки.
Рис. 3.10
Примем за начало отсчёта, тогда будет , и учитывая будем иметь или , что полностью совпадает с уравнением (31).
Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемой точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения .
Из (36) и (30) имеем
Тогда равенство (35) даст (37)
В частности, если Р – сила тяжести , то формула (34) имеет вид:
(37/)
Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 804;