Определение дисперсии

X= 58,48 = 1,36; σ²= 0,1138= 0,0026.

43 43

В целом данные столбца 5 показывают, как все варианты рассе­иваются относительно средней величины.

Вычисляя среднюю арифметическую, группу исходных данных заменили одной величиной, самой типичной и характерной. Те­перь необходимо заменить все показатели рассеивания одним показателем — средней арифметической всех показателей рас­сеивания. Однако при правильном исчислении средняя сумма отрицательных показателей должна быть равна сумме положитель­ных показателей, т.е. при вычислении средней арифметической их сумма должна быть равна нулю. Поэтому предлагается возвес­ти все знаковые показатели в квадрат, а потом найти среднюю арифметическую всех квадратов. Именно с этой целью в столбце 6 находятся квадраты разностей (x_i-X)², а в столбце 7 — их произведение на частоты с целью определения средней арифме­тической среди них.

Таким образом, дисперсия представляет собой среднюю ариф­метическую величину всех (x_i-X)². Эта величина указывает на рассеивание исходных данных относительно средней арифмети­ческой (в квадрате).

Обратим внимание на то, что средняя арифметическая ряда получена в тех же единицах (в примере 2.1 — в секундах (с)), что и исходные измерения, в то время как дисперсия вычислена в квадрате этих величин. Это обстоятельство затрудняет сравнение найденных показателей.

Для того чтобы осуществить сравнение, перейдем к определе­нию следующего параметра вариационного ряда — среднего квадратического отклоненияσ.С этой целью следует извлечь корень квадратный из дисперсии и учесть только положительный корень:

σ =√ σ² (2.3)

Так, для вышеприведенного ряда среднее квадратическое от­клонение составляет

Обратим внимание также на то, что в примере 2.1 вычисле­ния дисперсии проводились с большей точностью, чем измерения, а именно до десятитысячного знака. Это объясняется тем, что округ­ление этих данных до сотых, как и в измерениях, лишило бы нас значимых чисел и привело бы к нулю. Поэтому среднее квадратичес­кое отклонение следует рассчитывать с большей точностью. При нахождении среднего квадратического отклонения, извлекая ко­рень из дисперсии, мы снова возвращаемся к исходной точности.

Теперь объединим два основных параметра вариационного ря­да — X и σ в виде следующего интервала: X ± σ .

Приведенный интервал означает, что исходные данные, объ­единенные в вариационный ряд (см. табл. 2.1), могут быть пред­ставлены величинами:

X ± σ = (1,36 ±0,05) с.

Рассматривая данный интервал, видим, что исходный массив чисел без значимой погрешности может быть заменен основным средним показателем 1,36 с, отклонение от которого с недостат­ком представляется -0,05 с, а с избытком — +0,05 с. Другими сло­вами, вся группа чисел может быть представлена интервалом в пределах от 1,36 - 0,05 = 1,31 с до 1,36 + 0,05 = 1,41 с, который можно записать как 1,31... 1,41 с.

Интервал представляет типичные, основные для данной сово­купности показатели. Так, в примере 2.1 исходная совокупность представляется как 1,31... 1,41 с, а варианты, выходящие за эти пределы, являются нетипичными, нехарактерными, недостаточ­но показательными.

Таким образом, варианты 1,25; 1,30; 1,32 (см. табл. 2.1) являют­ся нехарактерными для данной спортивной группы как превосхо­дящие основную группу (чем меньше время забега, тем выше спортивный результат), а показатели 1,42 и 1,45 — нехарактерны­ми для данной группы как недостигающие среднего уровня. По­скольку в первой группе 14 спортсменов (3 + 5 + 6), а во второй 7 спортсменов (4 + 3), то показатели двух групп в сумме равны 21 спортсмену (14 + 7), что составляет почти половину от числа всех спортсменов (n = 43). Отсюда можно сделать вывод, что данная группа весьма неоднородна по исходным показателям, и потому требует определенной организационной оценки.

Для определения характера рассеивания используют параметр вариационного ряда — коэффициент вариации v, который рас­считывают по формуле

v = σ ·100%. (2.4)

X

По формуле (2.4) находим значение коэффициента вариации, определяющего, какой процент от средней арифметической со­ставляет показатель рассеивания σ. Так, в примере 2.1

v = 0,05 · 100% =3,68%

1, 36

это означает, что рассеивание показателей относительно средней арифметической составляет 3,68 %.

Коэффициент вариации v впервые на практике был использо­ван в биологии. Эта наука считает группу однородной, если коэф­фициент вариации не превосходит 10—15 %.

В практике физической культуры и спорта не существует такого критерия, однако сам коэффициент вариации часто употребляется и отражает рассеивания группы весьма характерно. Так, например, коэффициент вариации может указать на квалификацию испытуе­мого. Известно, что высококвалифицированные спортсмены пока­зывают очень близкие результаты, т. е. рассеивание их данных незна­чительно и коэффициент вариации должен быть невысоким, в то время как показатели спортсменов невысокой квалификации силь­но разнятся, поэтому их коэффициенты вариации должны быть выше.

Пример 2.2. Рассмотрим результаты забега (с) на 200 м де­сяти юношей, приведенные в табл. 2.3.

Таблица 2.3