Елементи гідроаеродинаміки. Рівняння Д. Бернуллі

Будемо вивчати рух рідин і газів. Введемо кілька понять.

Лінії, дотичні до яких у кожній точці співпадають з вектором швидкості рис.(5.3), називаються лініями току. Поверхня, утворена лініями току, що проходять через будь-яку замкнуту лінію, називається трубкою току.

Стаціонарним називається такий потік рідини або газу, при якому лінії току не змінюються з часом.

Розглянемо рух рідини, або газу по трубці току (рис.5.4) в таких припущеннях: 1) густина вздовж трубки току однакова; 2) будемо нехтувати нагріванням рідини, або газу за рахунок сил внутрішнього тертя, тобто вважатимемо систему консервативною; 3) рух стаціонарний.

Введемо позначення: S₁, S₂ – площі перерізу трубки на вході і виході відповідно; Р₁, Р₂ – тиск на об’єм рідини в трубці току з боку

рідини, яка знаходиться за межами трубки току; V₁, V₂ – середні по перерізу швидкості течії; h₁, h₂ – висоти положення середніх ліній трубки від нульового рівня потенціальної енергії Е_п.

Знайдемо масу рідини ∆m₁, яка втікає в трубку току за час ∆t, і масу ∆m₂, яка витікає з неї за цей же час. На рис.5.4 це маси заштрихованих об’ємів, які мають форму циліндрів. Тому

В стаціонарному режимі течії ці маси однакові. Таким чином маємо умову нерозривності стаціонарної течії:

(5.5)

швидкість течії більша в місці з меншою площею поперечного перерізу труби.

Застосуємо до рідини, яка знаходиться в трубці току, закон збереження механічної енергії. Система консервативна (див. припущення 2) і незамкнута. Сили тиску Р₁ і Р₂ являються зовнішніми силами для вибраної системи. Робота цих сил за час ∆t іде на зміну кінетичної і потенціальної енергії рідини масою ∆m

.

Поділивши це рівняння на об’єм рідини, яка втікає і витікає з труби за час ∆t, тобто на вираз , і врахувавши, що відношення маси до об’єму дає густину, одержуємо рівняння Д. Бернуллі

. (5.6)

Сума статичного тиску Р, динамічного і гідравлічного напорів для будь-якого перерізу труби є величиною сталою.

Така закономірність течії лежить в основі дії пульверизатора, карбюратора, водоструменевого насосу, витратомірів і т.д.