Другий закон Ньютона і дві задачі динаміки

Динаміка розв’язує дві взаємно-обернені задачі:

– по відомим траєкторії і закону руху знаходять можливі сили, що діють на тіло;

– по заданим силам знаходять траєкторію і закон руху тіла.

Розглянемо першу задачу.

Задано: траєкторія графічно (рис.3.2), або аналітично і закон руху будь-яким способом, наприклад, звичайним S=S(t).

Знайти: силу F-?

По траєкторії, знаходять одиничні вектори , а також радіус R її кривизни. Тоді згідно з другим законом Ньютона

Якщо рух тіла по колу радіусом R (рис.3.3) заданий кутовою координатою, яка змінюється по закону φ = φ(t), то сила

знаходиться так:

Сила направлена перпендикулярно до дотичної, тобто до центра кривизни траєкторії. Тому її ще називають доцентровою силою. Як бачимо, перша задача динаміки розв’язується шляхом диференціювання.

Розглянемо другу задачу динаміки.

Задано: закон зміни сили як функцію часу, швидкості, шляху.

Знайти: закон руху S = S(t).

Вона розв’язується інтегруванням. Окрім сили повинні бути задані і початкові умови, так як під дією однієї і тієї ж сили, але при різних початкових умовах, характер руху тіла різний. Наприклад, рух тіла під дією сили тяжіння з різними початковими умовами може бути:

вільне падіння; рух тіла, кинутого вертикально вгору; рух тіла, кинутого під кутом до горизонту; рух по колу – штучний супутник Землі.

Так як в загальному вигляді ця задача не розв’язується, розглянемо два приклади.

Приклад 1. Тіло масою m рухається під дією сили, яка не змінює напрямку і пропорційна часу F = k∙t. Початкові умови:

при t = 0 V = V_o, S = S_o.

Так як сила не змінює напрямку, тіло буде рухатись по прямій лінії. Знайдемо закон зміни швидкості і шляху від часу. Записуємо другий закон Ньютона

За означенням (2.2) швидкість

.

Приклад 2.Тіло масою m рухається прямолінійно під дією сили опору, яка пропорційна швидкості . Початкові умови:

при t = 0 V = V_o, S = S_o.

Знайдемо закон зміни швидкості і шляху від часу. Записуємо другий закон Ньютона

. Константу інтегрування С₁ знайдемо, підставивши початкові умови. Одержимо, С₁=lnV_o. Отже, .

. Підстановка початкових умов дає

Отже, , або

. Намалюємо графіки V(t) і S(t).