Модель оптимального портфеля инвестиций Марковица

Становление современной количественной теории формирования портфеля связано с работами Г. Марковица, который в 1952 году опубликовал статью "Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций». Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности.

Выше было показано, что если портфели формируются из двух активов, то все возможные их комбинации (при данном коэффициенте корреляции) располагаются на некоторой кривой или прямой. В том случае, когда в состав портфелей включается несколько активов, их совокупность образует некоторую область. Эта область называется допустимым (достижимым)множеством (см. рис. 5.3). Число возможных портфелей, принадлежащих этой области равно бесконечности. Все они лежат либо на границе, либо внутри допустимого множества. У инвестора, однако, не возникает необходимости проводить анализ всех портфелей.

Рис. 5.3. Допустимое множество инвестиционных портфелей

Отдельные точки внутри допустимой области, например точка А, характеризуют возможные портфели, состоящие из какого-то количества активов. Из рисунка видно, что портфели допустимого множества неодинаковы по степени их привлекательности для инвестора. Наиболее привлекательными портфелями являются те, которые расположены на левой верхней границе допустимого множества, т.е. находящиеся на кривой, проходящей через точки D, С, В. Так, например, рациональный инвестор предпочтет портфель С портфелю E, так как первый имеет большую доходность при том же самом уровне риска. Инвестор также предпочтет портфель D портфелю E, так как D имеет меньший риск при том же уровне доходности. Аналогичным образом можно показать, что из всего множества портфелей из допустимой области рациональный инвестор будет выбирать только портфели, находящихся на кривой D С В.

Множество портфелей, находящихся на данной кривой, называется эффективныммножеством. Эти портфели обеспечивают максимальную доходность при заданном уровне риска и минимальный риск при заданном уровне доходности. Таким образом, инвестор при формировании оптимального портфеля должен выбирать его не из всего допустимого множества, а только из эффективного множества.

Оптимальный портфель выбирается из эффективного множества в соответствии с отношением инвестора к риску. Например, инвестор менее склонный к риску выберет портфель соответствующей точке C, а инвестор более терпимый к риску – портфель B. Характер взаимосвязи между доходностью и риском, обусловленный отношением инвесторов к риску может быть представлен в виде кривых безразличия. Такие кривые 1, 2 и 3 изображены на рисунке. Важнейшим их свойством является то, что все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора. Следует иметь в виду, что кривые безразличия являются индивидуальными для каждого инвестора.

Точка касания кривой безразличия и кривой эффективного множества определяет оптимальныйпортфель. Поскольку у разных инвесторов наклон кривых безразличия неодинаков, то на одном эффективном множестве каждый из них выберет свой оптимальный портфель. Кривая безразличия 1 (см. рис. 5.3) характеризует более осторожного инвестора, кривая 3 — менее осторожного.

Мы рассмотрели задачу выбора оптимального портфеля на качественном уровне. Далее рассмотрим модель оптимизации инвестиционного портфеля, разработанную Марковицем.Задача оптимизации портфеля может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в портфель, обеспечивающих минимизацию риска при заданном (желаемом инвестором) уровне доходности.

Диверсификация Марковицаоснована на использовании методов оптимального программирования. При этом формируются целевая функция и ограничения, а на их основе — функция Лагранжа.

В качестве целевой функции в данной задаче выступает минимум дисперсии

² = W_i * W_j , min

где – ковариация ценных бумаг i и j.

В качестве ограничения выступаетсредняя доходность портфеля

R_р = R_iW_i,

где R_i , W_i–доходность и удельный вес включенной в портфель i – ой ценной бумаги.

При этом сумма удельных весов бумаг должна быть равна 1, т.е.

W_i. = 1.

Для того, чтобы найти решение такой задачи вводят набор переменных λ₁ и λ₂, называемых множителями Лагранжа и составляется функция Лагранжа:

L= W_i * W_j +λ₁ *( R_iW_i - R_р)+ λ₂ *( W_i. - 1),

где λ₁, λ₂— множители Лагранжа.

Структура портфеля, имеющего минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:

dL/dWi =0

dL/d λ_к, =0.

где к = 1,2.

Данная система уравнений представляет собой модель, позволяющая определить структуру оптимального портфеля.

Использованием модели Марковица связано со значительными вычислительными трудностями. Так сам Марковиц подсчитал, что анализ 100 ценных бумаг требует вычисления 100 ожидаемых значений доходности, 100 дисперсий и почти 5000 ковариаций. В связи с этим уже 1962 корпорацией IBM была разработана первая компьютерная программа для реализации модели Марковица.

Этот недостаток преодолевается в модели У. Шарпа. Согласно Шарпу, прибыль на каждую отдельную акцию строго коррелирует с общим рыночным индексом, что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Применение модели Шарпа требует значительно меньшего количества вычислений, поэтому она оказалась более пригодной для практического использования.