Коррекция нелинейных систем

При коррекции нелинейных автоматических систем обычно решаются две основные задачи [10]:

обеспечение устойчивости системы;

получение автоколебаний с заданной амплитудой и частотой.

Коррекция осуществляется с помощью включения линейных или нелинейных корректирующих устройств, а также компенсацией влияния нелинейностей.

Корректирующие устройства. В качестве линейных корректирующих устройств используются главным образом неединичные главные обратные связи (рис. 2.20,а) и местные обратные связи, охватывающие нелинейные элементы (рис. 2.20,б).

Нелинейные корректирующие устройства включаются либо последовательно либо в обратные связи.

При расчете корректирующих устройств структурную схему нелинейной системы необходимо привести к эквивалентной одноконтурной схеме с нелинейным элементом и эквивалентной линейной частью с передаточной функцией для схемы, приведенной на рис. 2.20,а,

W_элч(s) = W_лч(s) ´W_ос(s)

и для схемы, приведенной на рис. 2.20,б,

W_элч(s) = W_лч(s) + W_мос(s).

Рис. 2.20. Структурная схема нелинейной системы:

а - c неединичной главной обратной связью; б - c местной обратной связью

Влияние линейного корректирующего устройства на фазовый портрет системы. Рассмотрим систему, представленную на рис. 2.20,а, линейная часть которой задана передаточной функцией

,

где k - коэффициент передачи;

T - постоянная времени,

а нелинейный элемент - статической характеристикой F(s); у которой в качестве линейного корректирующего устройства включено в главную обратную связь форсирующее звено с передаточной функцией

W_ос(s) = (T_ос s + 1),

где T_ос - постоянная времени.

Передаточная функция эквивалентной линейной части системы будет

. (2.54)

На основании структурной схемы (рис. 2.20,а) и выражения (2.54) свободное движение нелинейной системы (g = 0) можно описать дифференциальным уравнением относительно отклонения s

(Tp² + p)s + k(T_ос p + 1)F(s) = 0, где p=d/dt. (2.55)

Учитывая, что

s = -(T_ос p + 1)x, (2.56)

получим дифференциальное уравнение относительно управляемой величины x системы

. (2.57)

Для построения фазового портрета в качестве координат фазовой плоскости выбираем управляемую величину x и скорость ее изменения y = dx/dt и уравнение (2.57) заменяем эквивалентными уравнениями первого порядка

(2.58)

откуда дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет

(2.59)

Если нелинейным элементом является усилитель с насыщением (рис. 2.3,а), то для линейного участка характеристики ½s½£ b

F(s) = k_у s = - k_у(T_ос p + 1)x

и, следовательно,

. (2.60)

Поскольку для участков насыщения F(s) = ±c, то вместо (2.59) аналогично (2.46) и (2.48) получим уравнения:

при s < -b и (T_ос p + 1)x > +b; (2.61)

при s > +b и (T_ос p + 1)x < -b. (2.62)

Так как линейная область на фазовой плоскости определяется неравенством ½s½£ b и зависимостью (2.56), то уравнения граничных линий можно записать в виде:

(2.63)

Следовательно, граничные линии проходят через точки на оси абсцисс ½x½= ±b и являются наклонными прямыми, угол наклона которых зависит от величины постоянной времени звена обратной связи

a = arctg . (2.64)

На рис. 2.21,а изображены фазовые траектории и граничные линии для системы при начальных условиях (x₀, 0).

Таким образом, при неединичной обратной связи фазовый портрет в зонах насыщения, определяемый уравнениями (2.61) и (2.62), будет таким же, как и при единичной обратной связи. В области линейной части характеристики фазовый портрет системы определяется уравнением (2.60), в котором имеется дополнительный член, обусловленный постоянной времени звена обратной связи T_ос. Кроме того, наличие производной в главной обратной связи поворачивает граничные линии, разделяющие фазовую плоскость на области, против часовой стрелки навстречу движению изображающей точки. Угол поворота этих линий тем больше, чем больше постоянная времени T_ос; в случае единичной обратной связи (T_ос = 0) угол поворота равняется нулю, при этом угол наклона a = 90⁰.

Рис. 2.21. Фазовые траектории нелинейных систем:

а - с усилителем с насыщением; б - с трехпозиционным реле

Если нелинейный элемент обладает релейной характеристикой, то фазовые траектории в зонах насыщения и нечувствительности определяются такими же уравнениями, как и в случае единичной обратной связи. Однако наличие члена T_осs в передаточной функции звена обратной связи обуславливает поворот линий переключения реле влево соответственно уравнениям (2.63); при этом угол наклона a определяется по формуле (2.64). На рис. 2.21,б показана фазовая траектория и линии переключения для нелинейной системы с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при начальных условиях (x₀, 0). Поворот линий переключения реле навстречу движению изображающей точки фазовой траектории обеспечивает работу системы с упреждением. Путем подбора постоянной времени T_ос можно обеспечить перевод релейной системы в новое состояние за одно включение реле, как показано на рис. 2.4,б, при угле наклона линий переключения, равном .

В том случае, когда система имеет неединичную жесткую главную обратную связь вида

W_ос(s) = 1 + k_ос, (2.65)

имеет место

s = -(1 + k_ос)x. (2.66)

Граничные линии и линии переключения для такой главной обратной связи определяются уравнениями:

(2.67)

Отсюда следует, что неединичная жесткая главная обратная связь вызывает перемещение граничных линий и линий переключения без изменения угла их наклона, что позволяет изменять соотношения между областями с различными фазовыми траекториями на фазовой плоскости, например, изменять область нечувствительности системы при неизменности зоны нечувствительности реле или усилителя.

Компенсация влияния нелинейности. При компенсации нелинейностей нелинейную систему можно рассматривать как линейную относительно определенных входных воздействий.

Компенсирующие нелинейности. Линеаризация заданной нелинейности F(s) заключается во включении последовательно или параллельно компенсирующего нелинейного элемента с обратной нелинейной характеристикой F^-1(s). При этом получаем эквивалентный линейный элемент. На рис. 2.22 приведен пример линеаризации усилителя с зоной нечувствительности путем включения параллельно с ним усилителя с насыщением.

Рис. 2.22. Пример включения компенсирующей нелинейности

Если нелинейность F(s) присутствует в объекте управления ОУ, то линеаризация системы может быть осуществлена путем параллельного включения объекту управления компенсирующей нелинейности F^-1(s) и модели его линейной части W_{м лч оу}(s) (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Структурная схема нелинейной системы

Вибрационная компенсация нелинейностей заключается в том, что нелинейный элемент приобретает свойства пропорциональности, если на его вход вместе с полезным медленно изменяющимся сигналом g(t) подается высокочастотная периодическая составляющая u(t) (рис. 2.24).

Если на входе нелинейного элемента (рис. 2.24,а,б) с характеристикой F(x) действует полезный медленно изменяющийся сигнал g(t) совместно с несмещенным периодическим сигналом u(t), частота w которого достаточно велика, чтобы можно было приближенно считать функцию g(t) постоянной в пределах периода T = 2p/w (рис. 2.24,б), т.е.

x(t) = g(t) + u(t), (2.68)

то выходной сигнал можно представить в виде суммы средней, медленно изменяющейся составляющей F₁(g) и колебательной функции F₂(u), близкой к периодической с частотой w

y_н = F(x) = F[g(t) + u(t)] = F₁(g) + F₂(u). (2.69)

Среднюю составляющую приближенно можно представить как среднее значение выходного сигнала нелинейного элемента за период

. (2.70)

В случае g = const формула (2.70) точная и определяет постоянный член ряда Фурье, составленного относительно выходного сигнала нелинейного элемента, а колебательная функция F₂(u) есть сумма гармонических составляющих этого ряда.

Рис. 2.24. Вибрационная компенсация нелинейности:

а - структурная схема разомкнутой системы; б - временные диаграммы

изменения сигналов; в - статическая характеристика

Формула (2.70) тем точнее, чем больше частота w и чем меньше g(t) изменяется в пределах периода T. На рис. 2.24,в представлена характеристика F₁(g) для идеального двухпозиционного реле при компенсирующей периодической функции u(t) треугольного вида частоты w и амплитуды A. Статическая характеристика является линейной для полезного сигнала g(t), изменяющегося в пределах ±A. Коэффициент передачи линейной части определяется как

(2.71)

Таким образом, чем больше амплитуда компенсирующих колебаний A, тем шире зона линейности нелинейного элемента. Однако при этом уменьшается коэффициент передачи линеаризованного элемента.

Статическая характеристика F₁(g) может быть получена экспериментальным путем, что позволяет определить значения k_у и A.

Выходной сигнал нелинейного элемента y_н (2.69) поступает на вход линейной части системы. При достаточно большой частоте w периодического сигнала u(t) линейная часть из-за инерционности не пропускает компенсирующие колебания, поэтому составляющей F₂(u) можно пренебречь. Следовательно, для разомкнутой системы (рис. 2.24,а) можно определить передаточную функцию

W(s) = k_у W_лч(s). (2.72)

Это значит, что при задающем воздействии g(t) < A (рис. 2.24,в) для частоты w компенсирующих колебаний u(t), превышающих частоту среза линейной части системы, нелинейная система может рассматриваться как линейная.

Для формирования высокочастотного сигнала u(t) используется или специальный генератор или собственные колебания системы.