Метод гармонической линеаризации

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов. В нелинейной системе (рис. 2.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой w.

В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 2.10), описываемых уравнением

y_н = F(x), (2.17)

лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой w и амплитудой a, т.е.

x = a sin y, где y = wt, (2.18)

а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

y_н1 = a_н1 sin(y + y_н1), (2.19)

где a_н1 - амплитуда а y_н1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.

Рис. 2.10. Характеристики нелинейного элемента

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (2.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (2.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

y_н1 = b_1F siny + a_1F cosy, (2.20)

где b_1F, a_1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:

Так как

px = aw cos y, где p = d/dt,

то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

y_н1 = [q + ] x, (2.21)

где q = b_1F/a, q¢ = a_1F/a.

Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q¢ - коэффициентами гармонической линеаризации.

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (2.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q¢ изменяются при изменении амплитуды a и частоты w колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу [7, 17]. В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a, w) и q¢(a, w) зависят от амплитуды a и частоты w колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a) и q¢(a) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q¢(a) = 0.

Подвергнув уравнение (2.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на jw (s = jw), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W_Э(jw, a) = q + jq¢ = A_Э(w, a) e ^{jyэ(w, a)}, (2.22)

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

A_Э(w, a) = mod W_Э(jw, a) =

y_Э(w, a) = arg W_Э(jw, A) = arctg[q¢(a, w)/q(a, w)].

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (2.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (2.18) на его входе, т.е.

a_н1 = a´A_Э(w, a); y_н1 = y_Э(w, a).

Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах.При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой w₀ и амплитудой a₀.

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 2.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

(2.23)

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи

W_Э(jw, a) = q(w, a) + jq¢(w, a) = A_Э(w, a) e ^{jyэ(w, a)}. (2.24)

Принимая во внимание выражение (2.21), можно записать уравнение нелинейной системы

{A(p) + B(p)´[q(w, a) + ]}x = 0. (2.25)

Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания

x = a₀ sin w₀t

с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a₀ и w = w₀ характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

A(p) + B(p)´[q(w, a) + ] = 0 (2.26)

имеет пару мнимых корней l_i = jw₀ и l_i+1 = -jw₀. Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.

Аналитический метод. Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют jw

D(jw, a) = A(jw) + B(jw)´[q(w, a) + jq¢(w, a)]. (2.27)

В результате получают уравнение D(jw, a) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

Re D(jw, a) = X(w, a);

Im D(jw, a) = Y(w, a),

получим уравнение

X(w, a) + jY(w, a) = 0. (2.28)

Если при действительных значениях a₀ и w₀ выражение (2.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:

(2.29)

Из выражений (2.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (2.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

(2.30)

По графикам a₀ = f(k), w₀ = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Частотный метод. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

W_н(jw, a) = -1. (2.31)

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

W_н(jw, a) = W_лч(jw)´W_Э(jw, a). (2.32)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (2.31) принимает вид

W_лч(jw) = - . (2.33)

Решение уравнения (2.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы W_лч(jw) и годографа обратной характеристики нелинейной части , взятой с обратным знаком (рис. 2.11). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 2.11. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой w₀ и амплитудой a₀ требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части - , соответствующая увеличенной амплитуде a₀+Da по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a₀-Da.

На рис. 2.11 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a₃ < a₀ < a₄ .

Исследование по логарифмическим частотным характеристикам.

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (2.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod W_лч(jw)W_э(jw, a) = 1;

arg W_лч(jw)W_э(jw, a) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

L_лч(w) + L_э(w, a) = 0; (2.34)

y_лч(w) + y_э(w, a) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.35)

Условия (2.34) и (2.35) позволяют определить амплитуду a₀ и частоту w₀ периодического решения уравнения (2.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы L_лч(w), y_лч(w) и нелинейного элемента L_э(w, a), y_э(w, a).

Автоколебания с частотой w₀ и амплитудой a₀ будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (2.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте w = w₀ и значениях амплитуды a = a₀ + Da и a = a₀ - Da, где Da > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a₀ + Da и a₀ - Da по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q¢(a) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг y_э(a), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

[A(p) + B(p)´q(a)]x = 0 (2.36)

существует, если выполняются условия:

L_лч(w) = - L_э(a); (2.37)

y_лч(w) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.38)

Уравнение (2.38) позволяет определить частоту w = w₀ периодического решения, а уравнение (2.37) - его амплитуду a = a₀.

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 2.12).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (2.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста [15]: периодическое решение с частотой w = w₀ и амплитудой a = a₀ устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды Da > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы y_лч(w) через линию -p равна нулю в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀,a₀+Da), и не равна нулю в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀,a₀-Da).

На рис. 2.12 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами w₀₁, w₀₂ и w₀₃, определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики y_лч(w) с линией -180⁰. Амплитуды периодического решения a₀₁, a₀₂ и a₀₃ определяются из условия (2.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента -L_э(w₀₁, a), -L_э(w₀₂, a) и -L_э(w₀₃, a).

Рис. 2.12. Логарифмические амплитудные и фазовая характеристики

Из трех решений, определенных на рис. 2.12, устойчивы два. Решение с частотой w = w₀₁ и амплитудой a = a₀₁ устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где L_лч(w)³-L_э(w₀₁,a₀₁+Da), фазовая характеристика y_лч(w) не пересекает линию -180⁰, а в диапазоне частот 2, где L_лч(w)³-L_э(w₀₁,a₀₁-Da), фазовая характеристика y_лч(w) один раз пересекает линию -180⁰. Решение с частотой w = w₀₂ и амплитудой a = a₀₂ неустойчиво, так как в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀₂,a₀₂+Da), фазовая характеристика y_лч(w) один раз пересекает линию -180⁰. Высокочастотное периодическое решение с частотой w = w₀₃ и амплитудой a = a₀₃ устойчиво, так как в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀₃,a₀₃+Da), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики y_лч(w) через линию -180⁰, а в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀₃,a₀₃-Da), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики y_лч(w) через линию -180⁰.

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой w₀₃ и амплитудой a₀₃, а при больших по величине возмущениях - низкочастотные автоколебания с частотой w₀₁ и амплитудой a₀₁.

Пример. Исследовать автоколебательные режимы в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию

,

где k=200 c^-1; T₁=1.5 c; T₂=0.015 c,

а в качестве нелинейного элемента используется реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при с=10 В, b=2 В.

Р е ш е н и е. По таблице [7] для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации:

при a ³ b, q¢(a) = 0.

При построении характеристик нелинейного элемента целесообразно использовать относительное по сравнению с зоной нечувствительности значение амплитуды входного гармонического воздействия m = a/b. Перепишем выражение коэффициента гармонической линеаризации в виде

.

Откуда

,

где - коэффициент передачи реле;

- относительная амплитуда.

Коэффициент передачи реле k_н отнесем к линейной части системы и получим нормированные коэффициенты гармонической линеаризации

, q¢(m) = 0

и нормированную логарифмическую амплитудную характеристику релейного элемента с обратным знаком

Если m ® 1, то -L_э(m) ® ¥; а при m >> 1 -L_э(m) = 20 lg m. Таким образом, асимптотами нормированной логарифмической амплитудной характеристики с обратным знаком являются вертикальная прямая и прямая с наклоном +20дб/дек, которые проходят через точку с координатами L = 0, m = 1 (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Определение периодического решения в релейной системе

с зоной нечувствительности

Для решения вопроса о существовании автоколебаний в соответствии с нормированной логарифмической амплитудной характеристикой с обратным знаком нелинейного элемента и передаточной функцией линейной части системы

на рис. 2.13 построены логарифмические характеристики L_лч(w), -L_э(m) и y_лч(w).

Частота периодического решения w₀ = 4.3 c^-1 определяется в точке пересечения фазовой характеристики y_лч(w) и линии -180⁰. Амплитуды периодических решений m₁ = 29 и m₂ = 1.08 находятся по характеристикам L_лч(w) и -L_э(m). Периодическое решение с малой амплитудой m₂ неустойчиво, а периодическое решение с большой амплитудой m₁ устойчиво.

Таким образом, в исследуемой релейной системе существует автоколебательный режим с частотой w₀ = 4.3 c^-1 и амплитудой a₀= b´m₁ = = 58 В.

Для решения вопроса о существовании автоколебаний в соответствии с нормированной логарифмической амплитудной характеристикой с обратным знаком нелинейного элемента и передаточной функцией линейной части системы

на рис. 2.13 построены логарифмические характеристики L_лч(w), -L_э(m) и y_лч(w).

Частота периодического решения w₀ = 4.3 c^-1 определяется в точке пересечения фазовой характеристики y_лч(w) и линии -180⁰. Амплитуды периодических решений m₁ = 29 и m₂ = 1.08 находятся по характеристикам L_лч(w) и -L_э(m). Периодическое решение с малой амплитудой m₂ неустойчиво, а периодическое решение с большой амплитудой m₁ устойчиво.

Таким образом, в исследуемой релейной системе существует автоколебательный режим с частотой w₀ = 4.3 c^-1 и амплитудой a₀= b´m₁ = = 58 В.