Рівняння Гамільтона.

Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання встатистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Докладніше: Функція Гамільтона

Функція Гамільтона визначається через узагальнені координати і узагальнені імпульси виходячи з функції Лагранжа наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

.

Функція Гамільтона визначається згідно з

.

Після цього всі узагальнені швидкості d виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона[ред. • ред. код]

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

,

.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Практичні використання[ред. • ред. код]

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі[ред. • ред. код]

Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):

де -- заряд частинки, — електростатичний потенціал, -- векторний потенціал.

В релятивістському випадку:

.

Функція Гамільтона в теорії відносності[ред. • ред. код]

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа (див. "Механіку" Ландау):

Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

.

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

Використання у квантовій механіці[ред. • ред. код]

У квантовій механіці оператор енергії будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів на оператори імпульсу , де -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки —рівняння Шредінгера.

Механічний осцилятор[ред. • ред. код]

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:

де коефіцієнт жорсткості, а маса тіла.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

,

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

,

Звідси можна отримати рівняння руху:

.

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

де амплітуда коливань, циклічна частота, а період.

Електричний осцилятор[ред. • ред. код]

Для класичного контура функція Гамільтона має вигляд:

де "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

де амплітудне значення заряду, циклічна частота, а період коливань.