Пример выполнения курсового задания К 4

Дано: уравнение относительного движения точки М

OM = S_r = S_r(t) = 2,5·p·t², см;

уравнение вращательного движения тела D

φ_e = φ_e(t) = 2·t³ – 5·t, рад;

t₁ = 1 c; R = 40 см.

Точка М движется по телу D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для заданного момента времени t₁ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М (OM(t₁) = ? V_r(t₁) = ? V_e(t₁) = ? V(t₁) = ? a_r(t₁) = ? a_e(t₁) = ? a_c(t₁) = ? a(t₁)= ?) (рис. 2.49).

Решение. Точка М осуществляет сложное движение, поэтому для решения задачи необходимо ввести неподвижную систему отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ и подвижную систему отсчёта OXYZ. Изобразим рассматриваемый механизм в момент времени t₁ (рис. 2.50).

Координатную ось O₁Y₁ неподвижной системы отсчёта направим по оси вращения тела D. Подвижную систему отсчёта OXYZ закрепим на теле D, расположив начало отсчёта в точке О. По исходным данным уравнение относительного движения точки М задано естественным способом S_r(t) = 2,5·p·t². Исходя из этого, известны следующие характеристики движения: вид траектории движения – дуга окружности радиусом R; начало отсчёта дуговой координаты S_r – точка О; положительное направление отсчёта дуговой координаты S_r – знак (+); уравнение движения S_r = 2,5·p·t².

Определим положение точки М на траектории относительного движения в момент времени t₁:

S_r(t₁) = 2·p·(t₁)² = 2,5·p·2² = 10p см > 0.

Для координации точки М на траектории относительного движения целесообразно использовать центральный угол:

a(t₁) = S_r(t₁)/R = 2,5·p·(t₁)²/R = 2,5·p·2²/40 = p/4.

Итак, α(t₁) = 45^о. Точка М тела D, совершающего вращательное движение в неподвижной системе отсчёта O₁X₁Y₁Z₁, описывает окружность радиусом

MK = R – R·cos(α(t₁)) = R·(1 – cos(α(t₁))= 40·(1 – 0,707) = 11,72 см.

Таким образом, траектория переносного движения точки М установлена. Это окружность радиусом МК с центром в точке К, расположенной на оси вращения тела D.

Абсолютное движение точки М – это сумма относительного и переносного движений. Таким образом, траектория абсолютного движения точки М представляет собой винтовую линию, расположенную на сферическом конусе.

Для определения абсолютной скорости V точки М используется векторное равенство

V = V_r + V_e,

где V_r – вектор относительной скорости; V_e – вектор переносной скорости.

Определим проекцию относительной скорости V_r на касательную:

= = 5·p·t.

В момент времени t₁ имеем

(t₁) = (t₁) = 5·p·t₁ = 5·p·2 = 10·p = 31,4 см/c > 0.

Поскольку (t₁) > 0, то модуль относительной V_r(t₁) = (t₁), а вектор относительной скорости V_r направлен так же, как и единичный вектор τ естественной координатной системы отсчёта. Покажем этот вектор на рис. 2.50.

Для определения переносной скорости V_e предварительно найдем модуль ω_е угловой скорости переносного вращения.

ω_e = I I = I6·t² – 5I.

В момент времени (t₁) имеем

ω_e(t₁) = I6·(t₁)² – 5I = I6·2² – 5I = 19 рад/c > 0.

Поскольку ω_e(t₁) > 0, то величина угла φ_е возрастает. Покажем на рис. 2.50 направление вращения и определим модуль переносной скорости V_e(t₁) по формуле

V_e(t₁) = ω_e(t₁)·МК = 19·11,72 = 222,68 см/с.

Так как V_e(t₁) направлена по касательной к траектории переносного движения, то она перпендикулярна плоскости OYZ подвижной системы отсчёта. С другой стороны, V_{r ┴} V_e. Исходя из этого, определим модуль абсолютной скорости:

V(t₁) = = = 224,88 см/с.

Если V_r не перпендикулярна V_e, то определение модуля скорости V следует определять через проекции векторного выражения V = V_r + V_e на координатные оси неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

= V_e; = – V_r·cos(α); = V_r·sin(α),

где , , – проекции абсолютной скорости на оси O₁X₁, O₁Y₁, O₁Z₁ системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

V(t₁) = =

= =

= = 224,88 см/с.

Для ориентации абсолютной скорости Vв пространстве неподвижной системы отсчёта определим направляющие косинусы.

cos(V,i₁) = (t₁)/V(t₁) = 222,68/224,88 = 0,990;

cos(V,j₁) = (t₁)/V(t₁) = (– 31,4·0,707)/224,88 = – 0,098;

cos(V,k₁) = (t₁)/V(t₁) = (31,4·0,707)/224,88 = 0,098.

При определении абсолютного ускорения a точки М используется формула

a = a_r+ a_e+ a_c ,

a_r= + ,

где – относительное касательное ускорение; – относительное нормальное ускорение.

Так как переносное движение является вращательным, то переносное ускорение a_e находят по формуле

a_e= + ,

где – переносное центростремительное ускорение; – переносное вращательное ускорение.

Исходную формулу для определения абсолютного ускорения можно представить в следующем виде:

a = + + + + a_c.

a = + + + + a_c

известны все слагаемые, находящиеся в его правой части.

Определим модуль a(t₁) абсолютного ускорения a(t₁) через его проекции (t₁), (t₁), (t₁) на оси неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ в момент времени (t₁).

(t₁) = (t₁) + a_c(t₁) = 281,28 + 843,59 = 1124,87 см/с²;

(t₁) = – (t₁)·cos(α(t₁)) + (t₁)·sin(α(t₁)) =

= – 15,7·0,707 + 24,64·0,707 = 6,32 см/с²;

(t₁) = (t₁)·sin(α(t₁)) + (t₁)·cos(α(t₁)) – (t₁) =

= 15,7·0,707 + 24,64·0,707 – 4230,92 = – 4202,39 см/с²;

a(t₁) = = 4350,01 см/с².

Для ориентации абсолютного ускорения в пространстве определим направляющие косинусы.

cos(a, i₁) = (t₁)/a(t₁) = 1124,87/4350,01 = 0,258;

cos(a, j₁) = (t₁)/a(t₁) = 6,32/4350,01 = 0,001;

cos(a, k₁) = (t₁)/a(t₁) = – 4202,39/4350,01 = – 0,966.

Результаты расчётов сводятся в таблицу.

Таблица

Кинематические характеристики точки М в момент времени t₁

Sr(t1), см	Vr(t1), см/с	Ve(t1), см/с	V(t1), см/с	(t1), см/с2	(t1), см/с2	(t1), см/с2
31,400	31,400	222,688	224,880	15,700	24,640	29,276

Окончание таблицы

, см/с2	, см/с2	, см/с2	ωe(t1), рад/с	εe(t1), рад/с2	ac(t1), см/с2	a(t1), см/с2
4230,920	281,280	4240,259	19,000	24,000	843,590	4350,010

2.28. Сферическое движение твёрдого тела

Рассмотрим движение тела, одна из точек которого во всё время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение называют сферическим движением твёрдого тела.

Сферическое движение твёрдого тела – движение, при котором скорость одной точки тела равна нулю, а остальные точки движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с этой неподвижной точкой.

Примером сферического движения тела служит движение волчка, имеющего неподвижную точку О₁ (рис. 2.51).

Для определения положения тела в каждый момент времени используют две системы отсчёта: неподвижная система отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ и подвижная система отсчёта OXYZ, которая жёстко закреплена на теле. При этом начало отсчёта ПСО совпадает с началом отсчёта НСО.

На рис. 2.51 стрелками показаны положительные направления отсчёта углов Ψ, φ, и θ. Рассмотрим подробнее порядок отсчёта этих углов. Плоскость OXY подвижной системы отсчёта OXYZ пересекается с плоскостью O₁X₁Y₁ неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ по линии O₁L. Эту линию называют осью узлов. Введём единичный вектор р, направленный от точки О₁ к точке L оси узлов. Единичные векторы i₁, p лежат в горизонтальной плоскости O₁X₁Y₁ и образуют угол Ψ, величина которого зависит от времени. Ψ = f₁(t). Положительное направление отсчёта угла Ψ определяют по правилу: смотря навстречу вектору k₁, поворот вектора i₁ к вектору р должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы k₁, k образуют плоскость, в которой находится угол θ, который также зависит от времени. θ = f₂(t). Положительное направление отсчёта угла θ определяют по правилу: смотря навстречу вектору i, поворот вектора k₁, к вектору k должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы р, i образуют плоскость, в которой лежит угол φ, величина которого зависти от времени. φ = f₃(t). Правило положительного направления отсчёта угла φ: смотря навстречу вектору j, поворот вектора р к вектору i должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Углы Ψ, θ, φ называют также эйлеровыми углами:

угол Ψ – угол прецессии;

угол θ – угол нутации;

угол φ – угол собственного вращения.

Так как положение тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется тремя эйлеровыми углами, т. е. тремя параметрами, то оно имеет три степени свободы.

Таким образом, сферическое движение тела описывается тремя уравнениями движения:

Ψ = f₁(t); θ = f₂(t); φ = f₃(t).

При сферическом движении широко используют теорему Эйлера-Даламбера.

Твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку (рис. 2.52).

Другими словами, тело может вращаться относительно мгновенной оси вращения.

Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

В случае сферического движения вектор угловой скорости Ω в данный момент времени откладывается от неподвижной точки О по мгновенной оси в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела, происходящим против хода часовой стрелки.

Tело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку. Примером такого движения является качение подвижного конуса 1 по неподвижному конусу 2 (рис. 2.53). Покажем на рисунке направление вектора мгновенной угловой скорости и запишем формулу для определения модуля скорости точки С подвижного конуса.

Так как скорость V_О точки О конуса 1 равна нулю, то этот конус совершает сферическое движение. Такое движение можно представить как вращательное движение относительно мгновенной оси вращения. Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Для тела 1 мгновенной осью вращения является ось ОК (см. рис. 2.53).

Вектор Ω угловой скорости тела 1 откладывается на мгновенной оси вращения в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела, происходящим против хода часовой стрелки.

Модуль V_C скорости точки С конуса 1 определяют по формуле

V_C = Ω·CL,

где CL – кратчайшее расстояние от точки С тела 1 до мгновенной оси вращения.

Для заочной и дистанционной форм обучения выполнение контрольных работ на сферическое движение не предусмотрено. Однако такие задачи довольно часто встречаются в дидактических единицах интернет–экзамена. Приведём примеры решения задач такого типа.

Пример 1.

Подвижный конус катится по неподвижной горизонтальной плоскости O₁X₁Y₁, имея неподвижную точку О₁ (рис. 2.54).

Запишите номер вектора, по которому направлена мгновенная угловая скорость вращения.

Ответ. Мгновенная угловая скорость вращения Ω совпадает с направлением 1.

Пример 2.

Подвижный конус 1 катится без проскальзывания по неподвижному конусу 2, так, что модуль угловой скорости вращения оси О₁С относительно оси О₁С₁ неподвижного конуса постоянен и равен ω₁ рад/с (рис. 2.55).

(Для справки: sin(15^o) = cos(75^o) = 0,26; sin(75^o) = cos(15^o) = 0,96).

Мгновенная угловая скорость подвижного конуса равна …

Варианты ответов: Ω = 1,9ω₁ рад/с; Ω = 2,7ω₁ рад/с; Ω = 0,52ω₁ рад/с; Ω = 0,35ω₁ рад/с; Ω = 0,7ω₁ рад/с.

Решение.

Правильный ответ: Ω = 1,93 рад/с.

Пример 3.

Подвижный конус 1 катится без проскальзывания по неподвижному конусу 2, так, что модуль угловой скорости вращения оси ОС относительно оси ОС₁ неподвижного конуса постоянен и равен ω₁ рад/с (рис. 2.57).

(Для справки: sin(15^o) = cos(75^o) = 0,26; sin(75^o) = cos(15^o) = 0,96).

Если известны углы и радиус основания R = 1 м, то мгновенная угловая скорость подвижного конуса 1 равна …

Варианты ответов: Ω = 0,73·ω₁ рад/с; Ω = 0,52·ω₁ рад/с; Ω = 0,28·ω₁ рад/с; Ω = 1,37·ω₁ рад/с; Ω = 1,92·ω₁ рад/с.

Решение.

Правильный ответ: Ω = 1,37·ω₁ рад/с.

2.29. Общий случай движения твёрдого тела

В общем случае движение свободного тела в пространстве можно рассматривать как сумму простейших движений (три поступательных движения, параллельные координатным осям, и три вращательных движения относительно этих осей), которые осуществляются одновременно и независимо друг от друга.

Таким образом, свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы.

В теоретической механике движение свободного тела в пространстве рассматривают как сложное, состоящее из поступательного движения со скоростью некоторой точки тела, принятой за полюс, и сферического движения вокруг этого полюса (рис. 2.60).

Примем произвольную точку О за полюс и поместим в него начала двух подвижных систем отсчёта OXYZ, O₂X₂Y₂Z₂. При этом система отсчёта OXYZ неподвижно закреплена на теле, а система отсчёта O₂X₂Y₂Z₂ совершает поступательное движение таким образом, что её координатные оси параллельны координатным осям неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

Плоскости OXY, O₂X₂Y₂ подвижных систем отсчёта пересекаются по линии OL. Введением единичного вектора р эту линию преобразуют в ось узлов.

На рис. 2.60 показаны углы Ψ, φ, θ, величины которых зависят от времени. Эти углы называют эйлеровыми углами.

Таким образом, свободное движение тела определяется шестью уравнениями движения свободного твёрдого тела.

X_1О = f₁(t); Y_1О = f₂(t); Z_1О = f₃(t);

Ψ = f₄(t); φ = f₅(t); θ = f₆(t),

где X_1О, Y_1О, Z_1О – координаты полюса О в неподвижной системе отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

Первые три уравнения, определяющие поступательную часть движения тела, зависят от выбора полюса О, так как координаты различных точек тела различны.

Остальные три уравнения, определяющее сферическое движение тела вокруг полюса, от выбора полюса не зависят.

Скорость V_M любой точки М свободного тела равна геометрической сумме скорости V_O полюса О и скорости V_MO этой точки в её сферическом движении вокруг полюса.

V_M = V_O + V_MO.

Скорость V_MO определяют по формуле

V_MO = Ω × r_M,

где Ω – вектор мгновенной угловой скорости; r_M – радиус-вектор, начало которого находится в полюсе, а конец в точке М.

Для студентов заочной и дистанционной форм обучения выполнение курсовых заданий на свободное движение тела не предусмотрено.