Плоской произвольной системы сил

Плоская произвольная система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в одной плоскости.

Линии действия плоской произвольной системы сил пересекаются в различных точках.

На рис. 1.43 изображена заданная плоская произвольная система сил (F₁, …, F_n), линии действия которых лежат в плоскости OYZ.

Последовательно применяя метод Пуансо для каждой из сил F_i, осуществим параллельный перенос сил из точек A_i в начало О системы отсчёта OXYZ. Согласно этому методу, сила F_iбудет эквивалентна силе F_i,приложенной в точке О, и присоединённой паре сил с моментом M_i = M_О(F_i). При этом M_i = ± F_i×h_i, где h_i – плечо силы F_i относительно центра приведения О. По окончании этой работы получим сходящуюся систему сил (F_i,…, F_n) и сходящуюся систему векторных моментов M_i = M_О(F_i) присоединённых пар сил, приложенных в центре приведения. Сложив векторы сил, получим глав

ный вектор R* = ΣF_i и главный момент эквивалентной пары сил M = Σ M_О(F_i).

Таким образом, плоская произвольная система сил (F_i,…, F_n) эквивалентна одной силе R* = Σ F_i и паре сил с моментом M = Σ M_О(F_i).

При решении задач статики используют проекции силы на координатные оси и алгебраические моменты сил относительно точки.

На рис. 1.44 изображена плоская произвольная система сил, приведённая к главному вектору сил, модуль которой R*= и эквивалентной паре сил с алгебраическим моментом M = Σ M_О(F_i).

В этих формулах Σ F_iОX, Σ F_iОY – суммы проекций сил на координатные оси; Σ M_О(F_i) – сумма алгебраических моментов сил относительно точки О.

Геометрическое условие равновесия любой системы сил выражается векторными равенствами:R* = Σ F_i= 0; M= Σ M_О(F_i) = 0.

При решении задач требуется определить реакции R_i^E внешних связей, наложенных на механическую систему. При этом активные силы F_i^E, приложенные к этой системе, известны. Так как активные силы F_i^E и реакции связей R_i^E относятся к разряду внешних сил, то геометрическое условие равновесия системы внешних сил целесообразно выразить векторными равенствами:

Σ F_i^E + Σ R_i^E = 0;

Σ M_A(F_i^E) + Σ M_A(R_i^E) = 0.

Для равновесия системы внешних сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей и геометрическая сумма моментов активных сил M_A(F_i^E) и реакций внешних связей M_A(R_i^E) относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Проецируя эти векторные равенства на координатные оси системы отсчёта, получим аналитические условия равновесия системы внешних сил. Для плоской произвольной системы сил эти уравнения приобретают следующий вид:

Σ + Σ = 0;

Σ + Σ = 0;

Σ M_A(F_i^E) + Σ M_A(R_i^E) = 0,

где Σ , Σ – соответственно суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ , Σ – суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; Σ M_A(F_i^E) – сумма алгебраических моментов активных сил F_i^E относительно точки А; Σ M_A(R_i^E) – сумма алгебраических моментов реакций R_i^E внешних связей относительно точки А.

Совокупность этих формул есть первая (основная) форма уравнений равновесия плоской произвольной системы внешних сил.

Таким образом, для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к механической системе, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на две координатные оси и сумма алгебраических моментов активных сил и реакций внешних связей относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Существуют и другие формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Вторая форма выражается совокупностью формул:

Σ + Σ = 0;

Σ M_A(F_i^E) + Σ M_A(R_i^E) = 0;

Σ M_В(F_i^E) + Σ M_В(R_i^E) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на координатную ось и суммы алгебраических моментов сил относительно произвольных точек А и В равнялись нулю.

Третья форма уравнений равновесия выражается совокупностью формул:

Σ M_A(F_i^E) + Σ M_A(R_i^E) = 0;

Σ M_В(F_i^E) + Σ M_В(R_i^E) = 0;

Σ M_С(F_i^E) + Σ M_С(R_i^E) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов этих сил относительно произвольных точек А, В и С равнялись нулю.

При использовании третьей формы уравнений равновесия точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.