Задачи на применение принципа возможных перемещений рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1. Изобразить рассматриваемую механическую систему на рисунке в соответствующем масштабе.

2. Приложить к механической системе активные нагрузки.

3. При наличии неидеальных связей добавить соответствующие реакции связей (например, силы трения).

4. Для определения реакции связи эту реакцию перенести в разряд активных сил путём замены существующей связи на связь, допускающую возможное перемещение в направлении, как правило, противоположном направлению определяемой реакции связи.

5. Задать возможное перемещение одной из точек механической системы и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от заданного возможного перемещения.

6. Вычислить сумму работ активных сил на возможных перемещениях их точек приложения и приравнять эту сумму нулю.

7. Решив составленное уравнение, определить искомую величину.

Пример.

На рис. 6.17 изображена механическая система, находящаяся в равновесии. Определить модуль силы F, приложенной в точке А рычага 1.

Дано: G₅ = 100 H; α = 30^о; d₁ = 1 м; b₁ = 0,5 м; d₃ = 0,8 м;

Решение.

Согласно рис. 6.17 механическая система, содержащая пять тел, имеет одну степень свободы. Наложенные на эту систему в точках С и К связи (шарнирно-неподвижные опоры) являются идеальными. На механическую систему, находящуюся в равновесии, действуют активные силы F и G₅.

Зададим возможное угловое перемещение δφ₁ телу 1, которое может совершать вращательное движение (рис. 6.18).

Модули возможных перемещений δS_A , δS_B точек А и В в зависимости от δφ₁ определим по формулам:

δS_A = δφ₁·АС = δφ₁·d₁; δS_B= δφ₁·BC = δφ₁·b₁.

Решая совместно эти выражения, найдем зависимость

δS_B= f(δS_A) = δS_A·b₁/d₁.

Из условия принадлежности точки D телу 3, которое получит возможное угловое перемещение δφ₃, эта точка получит возможное перемещение δS_D, перпендикулярное отрезку DK.

δS_D = δφ₃·DK = δφ₃·d₃.

Рассмотрим элементарное движение тела 2. Это тело совершает мгновенно поступательное движение, так как возможные перемещения δS_B, δS_D соответствующих точек этого тела одинаково направлены. Исходя из этого, имеем

δS_D = δS_B = δφ₃·d₃ = δS_A·b₁/d₁.

Точка Е тела 3 получит возможное перемещение δS_Е, модуль δS_Е которого определим по формуле

δS_Е = δφ₃·ЕK = δφ₃·b₃.

Выразим модуль возможного перемещения δS_Е точки Е сначала в зависимости от модуля возможного перемещения δS_D точки D, а затем в зависимости от модуля возможного перемещения δS_А точки А:

δS_Е = δS_D·(b₃/d₃) = .

Так как участок нити EL и груз 5 совершают поступательные движения, то имеем

δS_Е = δS_L = δS_C5 = ,

где δS_L, δS_C5 – соответственно возможные перемещение точки L, принадлежащей нити 4 и центру С₅ масс груза 5.

Запишем принцип возможных перемещений для рассматриваемой механической системы.

ΣF_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0 = F·δS_А·cos(α) – G₅·δS_C5 = 0.

Так как δS_C5 = , то получим

F·δS_А·cos(α) – G₅· = 0.

Решая последнее выражение, определим модуль силы F, при котором механическая система находится в равновесии.

6.3.3. Варианты курсового задания Д 7

«Применение принципа возможных перемещений

к определению реакций опор составной конструкции»

Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции. Схемы конструкций и необходимые для решения данные приведены в табл. 5.5. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 5.5

Номер варианта	Расчётная схема механизма	Исходные данные
		Р1 = 10 кН; Р2 = 10 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 6 кН; Р2 = 10 кН; М = 12 кН·м; q = 1 кН/м
		Р1 = 8 кН; Р2 = 10 кН; М = 3 кН·м; q = 2 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 5 кН; Р2 = 12 кН; М = 4 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 6 кН; Р2 = 8 кН; М = 3 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 4 кН; Р2 = 6 кН; М = 10 кН·м; q = 2 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 7 кН; Р2 = 8 кН; М = 15 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 8 кН; Р2 = 8 кН; М = 16 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 10 кН; Р2 = 10 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 10 кН; Р2 = 3 кН; М = 9 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 12 кН; Р2 = 5 кН; М = 6 кН·м; q = 1 кН/м
		Р1 = 11 кН; Р2 = 3 кН; М = 8 кН·м; q = 4 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 10 кН; Р2 = 12 кН; М = 8 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 10 кН; Р2 = 2 кН; М = 12 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 15 кН; Р2 = 10 кН; М = 5 кН·м; q = 2 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 16 кН; Р2 = 10 кН; М = 4 кН·м; q = 1 кН/м
		Р1 = 17 кН; Р2 = 3 кН; М = 6 кН·м; q = 6 кН/м
		Р1 = 18 кН; Р2 = 9 кН; М = 4 кН·м; q = 8 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 19 кН; Р2 = 7 кН; М = 12 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 20 кН; Р2 = 12 кН; М = 8 кН·м; q = 4 кН/м
		Р1 = 21 кН; Р2 = 10 кН; М = 12 кН·м; q = 6 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 22 кН; Р2 = 12 кН; М = 10 кН·м; q = 5 кН/м
		Р1 = 23 кН; Р2 = 9 кН; М = 5 кН·м; q = 8 кН/м
		Р1 = 24 кН; Р2 = 10 кН; М = 12 кН·м; q = 2 кН/м

Продолжение табл. 5.5

		Р1 = 25 кН; Р2 = 10 кН; М = 8 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 26 кН; Р2 = 16 кН; М = 6 кН·м; q = 6 кН/м
		Р1 = 27 кН; Р2 = 10 кН; М = 4 кН·м; q = 3 кН/м

Окончание табл. 5.5

		Р1 = 28 кН; Р2 = 18 кН; М = 8 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 28 кН; Р2 = 20 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м
		Р1 = 30 кН; Р2 = 20 кН; М = 6 кН·м; q = 1 кН/м

6.3.4. Пример выполнения курсового задания Д 7

Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции.

Решение.

Заменим равномерно распределённую нагрузку интенсивностью q сосредоточенной силой Q, приложенной в середине загруженного участка тела 1 (рис. 6.20). Модуль этой силы определим по формуле Q = q·2 = 1·2 = 2 кН.

Поскольку связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, являются идеальными, то для решения поставленной задачи правомерно применение принципа возможных перемещений.

Найдем горизонтальную составляющую Х_А реакции в жёсткой заделке.

Согласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОХ, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию Х_А. В результате этих действий реакция Х_А переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (см. рис. 6.19) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

Зададим возможное перемещение δS_A точке А тела 1. Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C,

где δS_P1 – возможное перемещение точки приложения силы Р₁; δS_Q – возможное перемещение точки приложения силы Q; δS_C – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка получит возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 параллельны, то тело 2 совершает поступательное движение. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = δS_В = δS_Р2,

где δS_Р2 – возможное перемещение точки приложения силы Р₂.

Таким образом, возможные перемещения всех точек тел 1 и 2 геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C = δS_В = δS_Р2.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений для рассматриваемого случая.

ΣF_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0 = – X_A·δS_A + P₁·δS_P1 – P₂·cos(45^о)·δS_Р2 = 0. (1)

Поскольку δS_A = δS_P1 = δS_Р2, то выражение (1) можно записать в следующем виде:

– X_A·δS_A + P₁·δS_А – P₂·cos(45^о)·δS_А = 0.

Решая последнее выражение относительно Х_А, получим

X_A = P₁ – P₂·cos(45^о) = 2 – 4·0,707 = – 0,828 кН.

Найдем вертикальную составляющую Y_А реакции в жёсткой заделке.

Согласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию Y_А. В результате этих действий реакция Y_А переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.21) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

Зададим возможное перемещение δS_A точке А тела 1. Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C,

где δS_P1 – возможное перемещение точки приложения силы Р₁; δS_Q – возможное перемещение точки приложения силы Q; δS_C – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке В. Относительно оси, проходящей через точку В и перпендикулярной плоскости рис. 6.21, тело 2 повернётся на угол δφ₂. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = CB·δφ₂ = 3·δφ₂.

Следует заметить, что возможные перемещения δS_C, δS_P2 точки С и точки приложения силы Р₂ перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

Принцип возможных перемещений выражается формулой

∑F_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р₂ и возможным перемещением δS_P2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который расположен в точке В. С этой целью силу Р₂ разложим на составляющие силы: P₂·sin(45^о) и P₂·cos(45^о).

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений:

– Y_A·δS_A + Q·δS_Q + P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ +

+ P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ – M·δφ₂ = 0. (2)

Так как δS_A = δS_Q = 3·δφ₂, то выражение (2) можно преобразовать к следующему виду:

– Y_A·3·δφ₂ + Q·3·δφ₂ + P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ +

+ P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ – M·δφ₂ = 0.

Решая последнее выражение относительно Y_A, получим

Y_A = Q 1+ P₂·sin(45^о)·0,5 + P₂·cos(45^о)·1 – M/3 =

= 2 1 + 4·0,707·0,5 + 4·0,707·1 – 6/3 = 4,242 кН.

Найдём реактивный момент М_А в жёсткой заделке.

Жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на поворот тела 1 в плоскости ОХY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реактивный момент М_А. В результате этих действий реакция М_А переходит в разряд активных нагрузок, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.22) заменяется шарнирно-неподвижной опорой. При такой замене составная конструкция становится подвижной. Тело 1 может совершать вращательное движение относительно оси, проходящей через точку А. Зададим телу 1 возможное угловое перемещение δφ₁. Тогда точки приложения активных сил Р₁, Q и точка С получат возможные перемещения δS_P1, δS_Q, δS_C.

Следует отметить, что возможное перемещение δS_C перпендикулярно отрезку, соединяющему точку С с осью вращения тела 1, проходящей через точку А.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке С₂. Относительно оси, проходящей через точку С₂ и перпендикулярную плоскости рис. 6.22, тело 2 повернётся на угол δφ₂. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = CС₂·δφ₂.

Так как точка С принадлежит и телу 1, и телу 2, то справедливо равенство

δS_C = CA·δφ₁ = CС₂·δφ₂.

Из рис. 6.22 нетрудно установить, что СА = СС₂. Отсюда имеем

δφ₁ = δφ₂.

Возможные перемещения δS_C, δS_Р2 точки С и точки приложения силы Р₂ перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

В общем случае принцип возможных перемещений выражается формулой

∑F_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р₂ и возможным перемещением δS_P2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который находится в точке С₂. Как и ранее (см. рис. 6.21), силу Р₂ разложим на составляющие силы: P₂·sin(45^о) и P₂·cos(45^о), параллельные координатным осям.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений.

– M_A·δφ₁ + P₁·1,5·δφ₁ – Q·1·δφ₁ –

– P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·6·δφ₂ + M·δφ₂ = 0. (3)

Поскольку δφ₁ = δφ₂, то выражение (3) можно преобразовать к виду

– M_A·δφ₁ + P₁·1,5·δφ₁ – Q·1·δφ₁ –

– P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₁ – P₂·cos(45^о)·6·δφ₁ + M·δφ₁ = 0.

Решая это уравнение относительно М_А, получим

M_A = + P₁·1,5 – Q·1 – P₂·sin(45^о)·1,5 – P₂·cos(45^о)·6 + M =

= 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·1,5 – 4·0,707·6 + 6 = – 14,210 кН·м.

Определим реакцию R_B.

Шарнирно-подвижная опора в точке В накладывает только одно ограничение на перемещение тела 2 в пространстве. Снимем это ограничение на поступательное движение тела, параллельное оси ОY, и покажем на рис. 6.23 реакцию R_B. Так как тело 1 неподвижно, то возможным перемещением тела 2 является его поворот относительно оси, проходящей через точку С на угол δφ₂.

На рис. 6.23 показаны возможные перемещения δS_В, δS_Р2 точек приложения сил R_B и Р₂.

Составим уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, при этом учтём, что работа силы при повороте тела равна произведению момента силы относительно мгновенного центра поворота на угол поворота тела.

P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ + M·δφ₂ – R_B·δS_B = 0. (4)

Так как δS_B = 3·δφ₂, то выражение (4) приводится к виду

P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ + M·δφ₂ – R_B·3·δφ₂ = 0.

Решая последнее выражение относительно R_B, получим

R_B = P₂·sin(45^о)·0,5 – P₂·cos(45^о)·1 + M/3 =

= 4·0,707·0,5 – 4·0,707·1 + 6/3 = 0,586 кН.

Проведём проверку полученных результатов расчёта. Для этого рассмотрим равновесие составной конструкции под действием активных нагрузок Р₁; Р₂, М, Q и реакций внешних связей X_A, Y_A, M_A, R_B (рис. 6.24).

Запишем уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил и подставим в них определённые значения реакций внешних связей.

Σ + Σ = 0 = X_A – P₁ + P₂·cos(45^о) =

= – 0,828 – 2 + 4·0,707 = – 2,828 + 2,828 = 0;

Σ + Σ = 0 = Y_A – P₂·sin(45^о) + R_B =

= 4,242 – 2 – 4·+ 0,586 = 4,828 – 4,828 = 0;

ΣМ_А( ) + ΣМ_А( ) = 0 =

= – M_A + P₁·1,5 – Q·1 – P₂·sin(45^о)·4,5 – M + R_B·6 =

= – (–14,210) + 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·4,5 – 6 + 0,586·6 =

= 20,728 – 20,728 = 0.

Проверка подтвердила правильность расчётов.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение понятия «обобщённые координаты механической системы».

2. Что изучает аналитическая механика?

3. Сформулировать определение понятия «возможные перемещения несвободной механической системы».

4. Сформулировать определение понятия «связи».

5. Сформулировать определение понятия «геометрические связи».

6. Сформулировать определение понятия «стационарные связи».

7. Сформулировать определение понятия «уравнения связей».

8. Сформулировать определение понятия «дифференциальные связи».

9. Сформулировать определение понятия «голономные связи».

10. Сформулировать определение понятия «неголономные связи».

11. Сформулировать определение понятия «нестационарные связи».

12. Сформулировать определение понятия «двусторонние (удерживающие) связи».

13. Сформулировать определение понятия «односторонние (неудерживающие) связи».

14. Сформулировать определение понятия «голономная система».

15. Сформулировать определение понятия «неголономная система».

16. Сформулировать определение понятия «возможное перемещение системы».

17. Сформулировать определение понятия «возможная (элементарная) работа силы».

18. Записать формулу для определения возможной работы силы.

19. Записать формулу для определения возможной работы сил, приложенных к механической системе.

20. Сформулировать определение понятия «идеальные связи».

21. Сформулировать принцип возможных перемещений.

22. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в векторной форме.

23. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в координатной форме.

24. Записать формулу, выражающую принцип возможных скоростей (принцип возможных мощностей).