Переносная и кориолисова силы инерции

Рассмотрим движение материальной точки под действием активных сил F_i^Е и реакций R_i^Е относительно подвижной неинерциальной системы отсчёта OXYZ (рис. 3.1).

Напомним некоторые понятия кинематики, используемые в данном разделе динамики точки.

Движение точки по отношению к неподвижной системе отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ называется абсолютным и характеризуется абсолютной скоростьюV и абсолютным ускорениемa. Положение точки на траектории абсолютного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называются уравнениями абсолютного движения:

X₁ = f₁(t); Y₁ = f₂(t); Z₁ = f₃(t).

Неподвижная система отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ является инерциальной. В этой системе отсчёта основное уравнение динамики имеет вид

m·a = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е,

где F_i^Е – активная сила; R_i^Е – реакция внешней связи.

 

 

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчёта OXYZ называется относительным и характеризуется относительной скоростью V_r и относительным ускорением a_r. Положение точки на траектории относительного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называются уравнениями относительного движения:

X = f₄(t); Y = f₅(t); Z = f₆(t).

Подвижная система отсчёта OXYZ не является инерциальной. Применение в чистом виде первого и второго законов классической механики в ПСО неправомерно.

Рассмотрим переносное движение точки (рис. 3.2) и напомним суть некоторых понятий кинематики, используемых в этом разделе динамики.

Если координаты точки в ПСО постоянны (Х = C₁ = const; Y = C₂ = const; Z = C₃ = const), то движение этой точки вместе с ПСО по отношению к неподвижной системе отсчёта называют переносным движением. Это движение характеризуется переносной скоростьюV_e и переносным ускорениемa_e. Положение точки на траектории переносного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называют уравнениями переносного движения:

= f₇(t) = f₈(t) = f₉(t).

 

Из курса кинематики известно, что абсолютное ускорение a точки определяют по формуле

a = a_r + a_e + a_c,

где a_r – относительное ускорение; a_e – переносное ускорение; a_c – ускорение Кориолиса.

Ускорение Кориолиса определяют по формуле

a_c = 2( × V_r),

где – вектор угловой скорости переносного вращения.

Модуль кориолисова ускорения находят по формуле

a_c = 2ω_e·V_r·sin( ,V_r),

где ω_е = I I – модуль угловой скорости переносного вращения.

Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

1) если ω_e = 0, т. е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;

2) если V_r = 0, т. е. в случае относительного покоя точки или в момент равенства нулю относительной скорости движущейся точки;

3) если sin( ,V_r) = 0, т. е. в случае, когда вектор относительной скорости V_r и вектор переносной угловой скорости параллельны.

Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения. Согласно этому правилу вектор a_c одновременно перпендикулярен векторам и V_r. При этом a_c направлено в сторону, откуда поворот вектора к вектору V_r для совмещения их направлений виден происходящим против хода часовой стрелки. Поворот осуществляется на угол меньше 180^о.

Направление ускорения Кориолиса находят также по правилу Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса необходимо относительную скорость V_r точки спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси вращения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на угол 90^о в сторону переносного вращения.

Если подставим абсолютное ускорение a = a_r + a_e + a_c в основное уравнение динамики точки m·a = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е, то получим

m·(a_r + a_e + a_c) = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е.

Разрешим это уравнение относительно m·a_r:

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е – m·a_e – m·a_c.

Введём два вектора: Ф_е = – m·a_e; Ф_с = – m·a_c. Эти векторы назовем переносной и кориолисовой силами инерции.

При исследовании движения механических систем в теоретической механике используют следующие понятия.

Сила инерции – величина, равная произведению массы материальной точки на её ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

Переносная сила инерции при рассмотрении движения материальной точки в неинерциальной системе отсчёта – величина, равная произведению массы точки на её переносное ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

Кориолисова сила инерции при рассмотрении движения точки в неинерциальной системе отсчёта – величина, равная произведению массы точки на её кориолисово ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

Используя понятия переносной и кориолисовой сил инерции, получим

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е + Ф_е + Ф_с.

Последнее выражение называют дифференциальным уравнением относительного движения точки в векторной форме или основным уравнением динамики относительного движения.

Произведение массы m точки на её относительное ускорение a_r равно геометрической сумме активных сил F_i^Е, реакций внешних связей R_i^Е, переносной силы инерции Ф_е и кориолисовой силы инерции Ф_с.

Проецируя последнее векторное равенство на координатные оси ПСО, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки:

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + + .

Произведение массы точки на проекцию её относительного ускорения на координатную ось ПСО равно сумме проекций активных сил, реакций внешних связей и переносной и кориолисовой сил инерции на ту же ось.

Силы инерции Ф_е, Ф_с направлены противоположно ускорениям a_e, a_c (рис. 3.3).

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + + ;

m· = Σ + Σ + +

отличаются от дифференциальных уравнений движения точки в инерциальной системе отсчёта (см. раздел 1)

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ

наличием в правой части этих уравнений проекций на соответствующие координатные оси переносной и кориолисовой сил инерции.