Расчет статически неопределимых плоских систем.

Задача 2.1. Для неразрезной балки (рис. V.18, а) требуется:

1) построить эпюры и , используя метод сил;

2) проверить условие прочности балки заданного сечения, приняв

.

Решение:

Определим степень статической неопределимости балки.

На балку наложены четыре связи, в то время как равновесие плоской си-стемы обеспечивают три связи, и следовательно: - система один раз статически неопределима.

Образуем основную систему отбрасыванием лишних связей и внешних усилий и эквивалентную систему присоединяя к основной внешние усилия и неизвестные усилия в «лишних» связях (рис. V.18, б).

Построим эпюру изгибающих моментов M_F от внешней нагрузки прило-женной к основной системе (рис. V.18, г).

,

,

, .

Строим эпюру изгибающих моментов от единичной силы Х₁=1 (рис.V.18, д)

Запишем каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы:

Определяем и по правилу Верещагина:

.

Решая уравнения, получим x₁:

Строим эпюры Q и M с учетом найденного значения Х₁ (рис. V.18, ж, з).

Определяем экстремальное значение момента

. .

Деформационная проверка.

Перемножим полученную эпюру M_z на единичную по правилу Вере-щагина, при этом результат должен быть близок нулю (погрешность не должна превышать 5%).

=

Погрешность:

Проверка балки заданного сечения на прочность по нормальным напря-жениям, для сечения, состоящего из швеллеров (к примеру №10).

Опасным по нормальным напряжением является сечение, в котором воз-никает максимальный по абсолютной величине изгибающий момент:

.

Определим момент сопротивления заданного сечения относительно оси z.

Из сортамента для швеллера №10 выписываем :

Изобразив сечение (рис. V.19) определяем, что центр тяжести каждого швеллера отстоит от общей центральной оси z на расстоянии с = 3.16 см.

Осевой момент сопротивления.

где с = b – z_o= 3.16 см.

По условию прочности:

Рис. V.19

σ_мax=209 > 160 МПа.

Перенапряжение составляет:

Балка заданного сечения не обеспечивает безопасную прочность.

Исходные данные для решения контрольной работы №2 взять в соответствии со схемами рис. V.20; V.21 и таблицей V.4.

Задача 2.2. Для рамы (рис. V.22) требуется:

1) построить эпюры внутренних усилий, используя метод сил;

2) выполнить деформационную проверку.

Жесткости горизонтальных стержней - 2EI, вертикальных - 3EI.

Решение:

Определим степень статической неопределимости. Рама имеет пять свя-зей, в то время как три связи обеспечивают равновесие плоской системы. Зна-чит, рама дважды статически неопределима.

Рис. V.20

Таблица V.4

Рис. V.21

Образуем основную систему (рис. V.23, а). Основная система статически определима и геометрически неизменяема. Приложив к ней внешнюю нагрузку и неизвестные усилия в «лишних» связях Х₁, Х₂ получим эквивалентную сис- тему (рис.15,б)

Рис. V.22

Запишем канонические уравнения метода сил для дважды статически неопределимой системы:

Построим эпюру изгибающих моментов от внешних сил

==15 кНм; ==15 кНм;

=-

Эпюра дана на (рис.V.23, г)

Построим эпюры изгибающих моментов (₁ и ₂) от единичных сил по направлению усилий , (рис. V.23, д, е).

Рис. V.23

Определим коэффициенты канонических уравнений по правилу Вереща-гина:

=; ;

;

Для проверки единичных коэффициентов построим суммарную единич-ную эпюру M_S (рис. ж) путем сложения ординат эпюр ₁ и ₂ и «перемно-жим» ее саму на себя:

Полученный результат должен быть равен сумме «единичных» коэффи-циентов

Для проверки «грузовых» коэффициентов перемножим грузовую M_F и суммарную единичную M_S эпюры:

Рис. V.24

Сумма грузовых коэффициентов равна той же величине:

.

Совпадение результатов говорит о правильности расчетов.

Подставим значения коэффициентов в канонические уравнения и сокра-тим на общий множитель

Решив систему уравнений, получим : кН; кН.

Знаки «минус», свидетельствуют о том, что принятые направления Х₁ и Х₂ следует изменить на противоположные.

Строим эпюры внутренних усилий N, Q, M (рис.V.24, б, в, г) с учетом найденных значений Х₁ и Х₂, используя метод сечений .Так, для наиболее сложного пятого участка имеем:

м.

кН;

Определим экстремум

.

Деформационная проверка правильности найденных значений неизвест-ных Х₁ и Х₂ состоит в том, что мы определяем перемещение в направлении какой либо связи (Х₂), «перемножив» эпюру M_z (рис. V.24, г) и (рис. V.23, е), заранее зная, что это перемещение должны быть равным нулю.

=