Колебания системы с одной степенью свободы
Колебания системы, происходящие при отсутствии внешних возмущаю-щих сил и обусловленные только упругими свойствами системы, называются свободными. Груз Q подвешен к упругому невесомому стержню АВ (рис. 14.3) . Удлиним стержень на величину и предоставим тело самому себе. Оно будет совершать колебательные движения в вертикальном направлении. Положение тела определяется одним параметром - перемещение тела относительно по-ложения статического равновесия (система имеет одну степень свободы).
Так как рассматриваются колебания тела относительно положения стати-ческого равновесия, то влияние собственного веса тела исключается. Реакция
со стороны стержня АВ по закону Гука равна
Сила инерции равна
Сумма этих сил должна быть равна нулю:
или
где круговая частота колебаний (число колебаний в 2π секунд), удлинение стержня АВ от статической нагрузки Q.
Интеграл уравнения:
Если при t =0, то из уравнения
и
найдём с1=
В итоге получаем:
Рассмотрим случай, когда в процессе колебания действует возмущающая сила F(t)=Fmахгде Fmах и Ω- максимальное значение и круговая частота изменения возмущающей силы соответственно.
Уравнение движения без учёта сил сопротивления имеет вид:
Общий интеграл уравнения (для случая, когда
Колебания, обусловленные действием возмущающей силы, называются вынужденными. Их частота равна частоте изменения возмущающей силы.
Наибольшее динамическое перемещение
,
где: ω2m = c – коэффициент жёсткости системы (с = );
- коэффициент динамичности.
На рис. 14.4 привязан график зависимости коэффициента динамичности χ от отношения частот. В случае совпадения частот вынужде-нных и собственных (ω=Ω) амплитуда вынужденных ко-лебаний резко возрастает (рис. 14.4, (1)). Это явление носит название резонанса.
Реально влияние окружа-ющей среды, внутреннее тре-ние в колеблющемся элемен-те приводит к рассеиванию энергии и кривая (2) описы-вает реальную картину
Явление роста во времени амплитуды колеба-ний при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний опасно. Для его
Рис.14.4 устранения прибегают к демп-фированию конструкций, т.е. применяют специальные устройства, увеличива-ющие рассеивание энергии при колебаниях, и коэффициент динамичности мо-жет соответствовать кривой (3).
При выполнении практических расчётов при известном коэффициенте χ , легко определяется величина максимальных динамических напряжений и пе-ремещений в упругих элементах системы.
σq = σст· χ ; уq = уст· χ ,
где под σст и уст понимается то перемещение и напряжение, которые возникали бы при статическом приложении максимального значения возмущающей силы.
Совпадение частот ω = Ω называют условием резонанса, а зону 0.81.2 – зоной критических частот. С помощью конструктивных меро-приятий стараются отстроиться от этой зоны. Более целесообразным является уход в зону уменьшения отношения от значения, равного единице. Демп-фирование (постановка амортизаторов – гидравлических, пневматических, пру-
жинных и т. д.) позволяет снизить величину динамических напряжений.
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 985;