Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при известном математическом ожидании.
Предположим, что выборка произведена из нормальной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией при известном математическом ожидании, равном . В качестве оценки неизвестной дисперсии возьмем выборочную дисперсию
. (8.4.11)
В этом случае статистика будет иметь –распределение с степенями свободы.
Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании имеет вид:
, (8.4.12)
где — квантиль уровня –распределения с степенями свободы.
Таким образом, доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании строится следующим образом:
1. Используя выборку , по формуле (8.4.11) вычисляем оценку дисперсии.
2. Вычисляем квантили и –распределения с степенями свободы.
3. По формуле (8.4.12) получаем искомый доверительный интервал.
Замечание. Квантили и –распределения с степенями свободы можно определить разными способами, например:
§ используя таблицы –распределения с степенями свободы;
§ используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен ;
§ используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны: .
Аналогично строится доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестном математическом ожидании.
В качестве оценки неизвестной дисперсии возьмем выборочную дисперсию
. (8.4.13)
В этом случае статистика будет иметь –распределение с степенью свободы.
Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании имеет вид:
, (8.4.14)
где — квантиль уровня –распределения с степенью свободы.
Таким образом, доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании строится следующим образом:
1. Вычисляем оценку , которая является средним арифметическим элементов выборки , и по формуле (8.4.13) вычисляем выборочную оценку дисперсии.
2. Вычисляем квантили и –распределения с степенью свободы.
3. По формуле (8.4.14) получаем искомый доверительный интервал.
Пример 5.Найти доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95 для оценки математического ожидания, нормально распределенной случайной величины , если известны ее дисперсия , выборочная средняя и объем выборки .
m Решение. По условию задачи . Найдем квантиль нормального распределения с параметрами , используя, например EXCEL: применяя функцию НОРМСТОБР(0,975), получим .
Применив (8.4.6), получим
l
Пример 6.Случайная величина распределена по нормальному закону. Статистический ряд выборки представлен таблицей:
Требуется:
1) построить доверительный интервал для оценки математического ожидания, если доверительная вероятность равна 0,97;
2) построить доверительный интервал для оценки дисперсии, если доверительная вероятность равна 0,95.
m Решение.Для оценки математического ожидания будем использовать формулу (8.4.9), т.к. дисперсия неизвестна. Вычислим все величины, присутствующие в (8.4.9).
Объем выборки .
Оценка математического ожидания:
.
Исправленная выборочная дисперсия:
.
Корень квадратный исправленной выборочной дисперсии:
Для доверительной вероятности найдем квантиль ‑распределения) с числом степеней свободы. Для этого используем, например, функцию qt(p, d) из MATHCAD: .
Доверительный интервал имеет вид:
и окончательно
.
Перейдем ко второй части задачи. Для оценки дисперсии будем использовать формулу (8.4.14), т.к. математическое ожидание неизвестно. Для данной формулы необходимо вычислить квантили и . Используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, получим: и .
Доверительный интервал имеет вид:
и окончательно
. l
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 5949;