Теорема умножения вероятностей для нескольких событий.
. (3.2.4)
Пример 2. Бросают две монеты. Рассматриваются два события:
A — выпадение «герба» на первой монете;
B — выпадение «герба» на второй монете.
Найти вероятность события .
m Решение. Очевидно, что пространство элементарных исходов состоит из четырех исходов: «герб»‑«герб», «герб»‑«решка», «решка»‑«герб», «решка»‑«решка».
Применим теорему сложения вероятностей .
Очевидно, что и , так как событию благоприятствует всего один исход, а число возможных исходов равно 4. Окончательно получим:
.
Заметим, что задачу можно решить с помощью противоположного события. Рассмотрим событие — выпадение пары «решка»‑«решка», тогда
. l
Пример 3. В урне белых и черных шаров. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
m Решение. Рассмотрим события:
— первый шар белый;
— второй шар белый.
Применяя теорему умножения вероятностей, получаем:
.
, так как общее число шаров, а также число белых, уменьшилось на 1. l
Пример 4. На семи карточках написаны буквы, образующие слово «телефон». После перестановки карточек наудачу последовательно берут пять из них, и прикладывают справа одну к другой. Найти вероятность образования слова «фенол».
m Решение. Применим теорему умножения вероятностей для нескольких событий. Вероятность того, что первой буквой будет «Ф», равна . Вероятность того, что второй буквой будет «Е», при условии, что букву «Ф» уже взяли, равна и т.д. В итоге получаем:
.l
Пример 5. В урне белых и черных шаров. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.
m Решение. Рассмотрим события:
— первый шар белый;
— второй шар белый;
— первый шар черный;
— второй шар черный;
— шары разных цветов.
Очевидно, что , причем события и несовместимы. По теореме сложения и по теореме умножения вероятностей для независимых событий:
l
Пример 6. Техническая система состоит из n элементов, надежность каждого из них . Выход из строя хотя бы одного влечет за собой выход всей системы. С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще n таких же приборов. Определить, какой из способов дублирования надежнее:
§ дублирование каждого элемента (рис. 3.1);
§ дублирование всей системы (рис. 3.2).
m Решение. Найдем надежность блока:
Для этого найдем вероятность выхода из строя. Блок выходит из строя, если выходит из строя каждый элемент, т.е. . Тогда надежность блока равна . Далее система работает надежно, если работает каждый блок, т.о.:
.
Надежность системы
равна . Отсюда надежность системы (рис. 3.2)
.
Сравним и , для этого нужно сравнить и .
Докажем, что .
Подставим , т.е.
Далее достаточно раскрыть скобки.
Таким образом, надежнее дублирование каждого элемента. l
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 831;