Пример 1.

Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F₁, F₂ и F₃. Площади поперечных сечений ступеней А₁ и А₂. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений сечений бруса.

Е = 2 × 10⁵ Н/мм²; F₁ = 14 кН; F₂ = 16 кН; F₃ = 10 кН;

А₁ = 2,1 см²; А₂ = 2,9 см²; а = 0,5 м;

Решение:

Границами участков служат сечения в которых приложены внешние силы и места изменения размеров поперечного сечения.

1. Определяем продольную силу методом сечений

N₁ = F₁ = 14 кН

N₂ = F₁ + F₂ = 14 +16 = 30 кН

N₃ = F₁ + F₂ = 14 +16 = 30 кН

N₄ = F₁ + F₂ - F₃ = 14 +16 - 10 = 20 кН

Строим эпюру N.

3. Определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков.

s₁ = N₁ / A₂ = (14 × 10³) / (2,9 × 10²) = 48,3 МПа

s₂ = N₂ / A₂ = (30 × 10³) / (2,9 × 10²) = 103,4 МПа

s₃ = N₃ / A₁ = (30 × 10³) / (2,1 × 10²) = 142,9 МПа

s₄ = N₄ / A₁ = (20 × 10³) / (2,1 × 10²) = 95,2 МПа

Строим эпюру s.

4. Определяем перемещение свободного конца бруса

l = Dl₁ + Dl₂ + Dl₃ + Dl₄

Dl₁ = (N₁ × 2 × a) / (E × A₂) = (14 × 10³ × 2 × 0,5 × 10³)/(2 × 10⁵ × 2,9 ×10²) = 0,241 мм

Dl₂ = (N₂ × a) / (E × A₂) = (30 × 10³ × 0,5 × 10³)/(2 × 10⁵ × 2,9 ×10²) = 0,259 мм

Dl₃ = (N₃ × a) / (E × A₁) = (30 × 10³ × 0,5 × 10³)/(2 × 10⁵ × 2,1 ×10²) = 0,357 мм

Dl₄ = (N₄ × a) / (E × A₁) = (20 × 10³ × 0,5 × 10³)/(2 × 10⁵ × 2,1 ×10²) = 0,238 мм

l = 0,241 + 0,259 + 0,357 + 0,238 = 1,095 мм

5. Определяем перемещение сечений

l_О = 0

l_В = Dl₄ = 0,238 мм

l_С = l_В + Dl₃ = 0,238 + 0,357 = 0,595 мм

l_Д = l_С + Dl₂ = 0,595 + 0,259 = 0,854 мм

l_К = l_Д + Dl₁ = 0,854 + 0,241 = 1,095 мм

Строим эпюру l.