Задача 2.25.

В течение времени t эксплуатируется N приборов. Каждый прибор имеет надежность р и выходит из строя независимо от других. Найти вероятность Р(А) того, что мастер, вызванный по окончании времени t для ремонта неисправных приборов, не справится со своей задачей за время t, если на ремонт каждого прибора мастеру требуется время t₀.

Решение.

Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем константа x:

(2.20)
Функция F (x) есть неубывающая функция, F ( - ¥ ) = 0, F ( + ¥ ) = 1.

Плотностью распределения случайной величины называется функция

(2.21)
Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна:

(2.22)
График плотности f(а) называется кривой распределения.

Элементом вероятности для случайной величины X называется величина f(а)dа, приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки X в элементарный отрезок dа, примыкающий к этой точке.

Функция распределения случайной величины F(а) выражается через плотность распределения формулой:

(2.23)
Вероятность W попадания случайной величины X на участок, протяженностью от a до b, включая a, выражается формулой:

(2.24)
Математическим ожиданием случайной величины X называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

(2.25)
для дискретных случайных величин,

где x_i –– значение случайной величины,

р_i –– вероятность реализации значения x_I .

(2.26)
для непрерывных случайных величин

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Для дискретных случайных величин:

(2.27)
Для непрерывных случайных величин:

(2.28)
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии

(2.29)
Центрированной случайной величиной называется разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием m_x:

(2.30)
Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:

(2.31)
Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины:

(2.32)
Биномиальный закон распределения числа n появления события A в n независимых опытах.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если она может принимать значения 0,1,2,…n, а вероятность того, что X = m < n выражается формулой:

(2.33)
где –– вероятность появления m событий при проведении n испытаний,

–– число сочетаний из n по m,

p –– вероятность появления события А в одном испытании;

q = 1-p –– вероятность непоявления события А.

Биномиальное распределение отличается следующими свойствами:

математическое ожидание числа событий (при проведении n испытаний) равно М[X] = n×p;

среднеквадратическое отклонение

(2.34)
При увеличении числа испытаний биномиальное распределение приближается к нормальному со средним значением:

(2.35)
и дисперсией

(2.36)
Закон Пуассона.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2,…, n,…, а вероятность того, что X=n выражается зависимостью:

(2.37)
где a > 0 –– параметр закона Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, вычисляются по формулам:

(2.38)

(2.39)
где l(x) –– функция интенсивности появления случайного события.

Вероятность числа n реализаций за время t случайных событий, распределенных по закону Пуассона, при l(t) = const = l вычисляется по формуле:

(2.40)
где l –– интенсивность появления случайного события, равная среднему числу реализации событий в единицу времени;

l×t = а –– среднее число событий, реализовавшихся за время t.

Характерным признаком распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии

(М[X] = l×t, D[X] = l×t).

Функция вида:

(2.41)
где a>0, j>0 –– некоторые постоянные,

S –– натуральное число

обладает свойствами плотности распределения. Некоторые из законов распределения случайных величин типа f_S(x) имеют определенные названия, например:

f₁(x) –– называется законом Релея,

f₂(x) –– называется законом Максвелла.

Для закона Релея:

(2.42)

(2.43)
Для закона Максвелла:

(2.44)

(2.45)
Все законы вида:

(2.46)
являются однопараметрическими, т.е. зависят только от одного параметра, в качестве которого можно задать, например, математическое ожидание или дисперсию.

Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.

Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной в интервале ( a, b ), если ее плотность распределения на этом интервале постоянна:

(2.47)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины при ее равномерном распределении соответственно равны:

(2.48)
Вывод формулы (2.48).

По определению:

дисперсия

Поскольку случайная величина распределена равномерно на интервале (a, b), то:

Нормальный закон распределения случайных величин.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если плотность ее распределения подчинена зависимости:

(2.49)
где: m –– математическое ожидание случайной величины;

D = s² –– ее дисперсия.

Вероятность попадания случайной величины X , распределенной по нормальному закону, в интервале (a, b) выражается формулой:

(2.50)

(2.51)

(2.52)

(2.53)
Функция Ф*(x) –– табулированная функция Лапласа.

На практике удобнее пользоваться аппроксимацией Ф.А. Евстифеева.

(2.54)

(2.55)

где –– нормированное отклонение случайной величины Х.

В (2.55) принимается знак (-), если величина y отрицательна и (+) в противном случае.

Распределение Вейбулла.

Плотность распределения:

(2.56)
где

Функция распределения (функция отказов или ненадежности):

(2.57)
Функция надежности:

Интенсивность отказов:

(2.58)
Для начального этапа эксплуатации технических систем распределение Вейбулла используется для расчета вероятности безотказной работы системы в течение времени t. Для этих целей можно принять значения:

q = 0, b ³ 1, c @ 0.5, tÎ[0, t₁]

где t₁ –– окончание этапа приработки технической системы.

Ниже приведен пример изменения интенсивности отказов (2.58), подчиненных распределению Вейбулла с определенными выше значениями констант.

Рис. 2.2.1. Изменение интенсивности отказов на начальном этапе эксплуатации системы.