Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ФСР однородной системы. Общее решение однородной системы.

Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e2 x или U'υ+U(υ'+3υ)= e2x.
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e–3x.
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид:

Линейное однородное ОДУ: .

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения:

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) линейно независимые решения этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

где C1,...,Cn — произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений нормальной системы однородных линейных ОДУ с постоянными коэффициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения.

Нормальная линейная однородная система n порядка с постоянными коэффициентами - или , Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций постоянны. Эта система в матричной форме –матричная форма, где A-постоянная матрица. Матричный метод: Из характеристического уравнения найдем различные корни и для каждого корня (с учетом его кратности) определим соответствующее ему частное решение . Общее решение имеет вид: . При этом 1) если - действительный корень кратности 1, то , где -собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению , то есть . 2) – корень кратности , то соответствующее этому корню решение системы ищут в виде вектора
(**), коэффициенты которого определяются из системы линейных уравнений, получающихся приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях x в результате подстановки вектора (**) в исходную систему.