Основные принципы построения математических моделей

Системный подход к исследованию и описанию технологических процессов основан на декомпозиции системы на более простые подсистемы, взаимодействующие между собой, раздельном изучении их структуры и функций с последующим синтезом полученных сведений. При синтезе учитываются выявленная иерархия процессов по масштабам области действия, их пространственное расположение и временная последовательность, а также синергетические эффекты, общее действие которых превышает кажущуюся сумму отдельно взятых воздействий .

Составляющие сложный процесс элементарные явления протекают в областях, масштабы которых различаются от низшего (уровень атомов и молекул) до высшего (уровень технологической системы, участка или производства). Эта особенность находит отражение в иерархической структуре модели, которую целесообразно строить путем последовательного перехода в описании процесса с одного уровня на другой.

Атомныйили молекулярный уровень описывает физико-химические процессы микрокинетики, протекающие в областях, имеющих масштаб расстояний между атомами. Уровень частиц малого объема описывает процессы в масштабе отдельных включений, фаз, структур и т.п. для неоднородной (негомогенной) технологической среды. Эти два уровня должны дополняться явлениями макрокинетики: тепло- и массопереноса, упругости и пластичности в однородной (гомогенной) среде с изотропными и анизотропными свойствами.

Уровень рабочей зоны технологической системы описывает процессы в областях, размеры которых соответствуют крупным агрегатам частиц: зонам термического влияния, деформации, диффузии, оплавления и т.п. Этот уровень учитывает характер движения потоков вещества и энергии. Уровень технологической системы (процесса и установки) учитывает взаимное расположение и размеры рабочих зон и элементов системы, последовательность технологических воздействий.

Модель каждого уровня содержит в свернутом виде модели более низких уровней и соотношения, описывающие переход с одного уровня на другой.

Системный подход позволяет анализировать и моделировать технологический процесс, представленный в виде отдельных блоков, что существенно упрощает описание сложных явлений, не упуская из вида пространственно-временную структуру моделируемой системы, характер связи между отдельными уровнями и подсистемами.

Применяют также модели, в которых нет прямой аналогии, а сохраняются лишь законы и общие закономерности поведения элементов системы . Правильное понимание взаимосвязей как внутри самой модели , так и взаимодействия ее с внешней средой в значительной степени определяется тем, на каком уровне находится наблюдатель.

Рассмотрим различия между классическим и системным подходами.

Классический (индуктивный) подход к синтезу модели предусматривает изучение взаимосвязей между отдельными частями модели путём рассмотрения их как отражение связей между отдельными подсистемами объекта. Такой классический подход может быть использован при создании достаточно простых моделей.

Классический подход может быть использован для реали­зации сравнительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта. Для модели сложного объекта такая разобщенность решаемых задач недоступна, так как приводит к значительным затратам ресурсов при реализации модели на базе конкретных программно-технических средств.

С усложнением объекта моделирования возникает необходимость наблюдения их с более высокого уровня. В этом случае наблюдатель (разработчик) рассматривает данную систему как некоторую подсистему какой-то метасистемы, т.е. системы более высокого ранга, и вынужден перейти на позиции системного подхода, который позволит ему построить не только исследуемую систему, решающую совокупность задач, но и создавать систему, являющуюся составной частью метасистемы.

Системный подход наиболее эффективен при исследовании сложных реальных технических систем производства, когда сказывается недостаточность, а зачастую ошибочность принятия каких-либо частных решений.

Системный подход предполагает и некоторую последовательность разработки моделей, заключающуюся в выделении двух основных стадий проектирования: макро­проектирование и микропроектирование.

Стадия макропроектирования – на основе данных о реальной системе и внешней среде строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения модели системы, выбираются модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели реальной системы . Построив модель системы и модель внешней среды, на основе критерия эффективности функционирования системы в процессе моделирования выбирают оптимальную стратегию управления, что позволяет реализовать возможность модели по воспроизведению отдельных сторон функционирования реальной системы .

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечения системы моделирования. На этой стадии можно установить основные характеристики созданной модели, оценить время работы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества соответствия модели процессу функционирования системы .

Детерминированные модели разрабатывают на основе теоретических представлений о структуре описываемой системы и закономерностей функционирования ее отдельных подсистем. Объем этих знаний, их адекватность реальному процессу определяют результирующее качество разрабатываемой модели.

Несмотря на существенные различия в содержании конкретных задач моделирования разнообразных технологических процессов, построение модели включает определенную последовательность взаимосвязанных этапов.

Построение стохастической модели, служащей для описания вероятностных характеристик и процессов, включает разработку, оценку качества и исследование поведения системы с помощью уравнений изучаемого процесса.

Для этого путем проведения специального эксперимента с реальной системой добывается исходная информация. При этом используются методы планирования эксперимента, обработки результатов, а также критерии оценки качества полученных моделей, базирующиеся на таких разделах математической статистики, как дисперсионный, корреляционный, регрессионный анализ и др.

В основе методов построения статистической модели, описывающей процессы, протекающие в технических системах лежит концепция «черного ящика». Для него возможны многократные измерения входных факторов: и выходных параметров: , по результатам которых устанавливают зависимости:

.

При статистическом моделировании вслед за постановкой задачи (1) отсеиваются наименее важные факторы из большого числа входных переменных, влияющих на ход процесса (2). Выбранные для дальнейшего исследования входные переменные составляют список факторов , управляя которыми можно регулировать выходные параметры . Количество выходных параметров модели также следует по возможности уменьшить до разумных пределов, чтобы сократить затраты на эксперименты и обработку данных.