Элементы теории множеств и ее применение в моделировании технических систем.

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которые трудно определяются через элементарные понятия. Одним из наиболее распространенных его определений является следующее:

Множество– совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Афинная геометрия (а) с параллельным проецированием, проективная геометрия (б) с проецированием от точечного источника

Топология (а), содержащая неразрывную деформацию, и теория точечных множеств (б), описывающая рассеяние

Приведем примеры множеств: множество оборудования механообраба-тывающего цеха, множество деталей, множество возможных вариантов технологического процесса обработки, множества инструмента, операций, персонала и т.д.

Отдельные объекты представляют собой элементы множества, которое обозначается парой фигурных скобок { }. Для конкретных множеств с этой целью используются различные прописные буквы или прописные буквы с индексами: , , …. Элементы множества обозначаются различными строчными буквами или строчными буквами с индексами , …. Используются символы принадлежности и непринадлежности ( или ) элемента или элементов множеству:

· – элемент принадлежит множеству или является элементом множества ;

· (или ) – элемент не является элементом множества (элемент не принадлежит множеству ).

Вместо записи , , …, с целью сокращения можно использовать запись .

Множество конечное, если количество его элементов представляет собой натуральное конечное число , и бесконечное, если оно содержит бесконечное число элементов .

Существует два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например . Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многоточием.

Отдельный способ задания множества состоит в том, что указываются все элементы множества.

Если количество станков в цехе, то множество токарных станков запишется в виде:

.

Читается: множество состоит из элементов множества , обладающих тем свойством, что является токарным станком. В случаях, когда ясно, из какого множества берутся элементы , указания о принадлежности к множеству можно не делать:

проходной резец},

.

В первом случае ясно, что элементы принадлежат к множеству резцов, а во втором – к множеству решений уравнения , т.е. к множеству .

Если – множество целых чисел, то – множество .

Пустым множеством (Æ) называется множество, не содержащее ни одного элемента.

=Æ, так как уравнение не имеет вещественных решений.

Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множества и не равны , если либо в множестве есть элементы, не принадлежащие , либо в множестве есть элементы, не принадлежащие .

Символу равенства множеств присущи свойства:

· – рефлексивность;

· если , то – симметричность;

· если и , то – транзитивность.

Из определения равенств множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несуществен:

.

Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов. Запись следует заменить , т.к. в первом случае наблюдается повторение одних и тех же элементов.

Множество является подмножеством множества , если любой элемент множества является элементом множества .

Для определения подмножества используются символы:

– квантор, означает «любой», «каков бы ни был», «для всех».

– символ следствия (импликации), означающий «влечет за собой».

Определение подмножества:

Для любого утверждение « принадлежит »влечет за собой утверждение « принадлежит »запишется в виде:

" [ ]

кратко: обозначает, что является подмножеством или ,содержащий .

Если содержит и другие элементы, кроме элементов из , то используют символ – строгое включение: . Связь между символами :

– обозначение эквивалентности «то же самое, что».

Свойства подмножеств:

· – рефлексивность

· – транзитивность.

Всегда можно считать, что любое множество содержит в себе в качестве подмножества пустое множество: Æ .

Часто возникающая задача определения наибольшего или наименьшего элемента множества для конечных множеств не представляет труда, но для бесконечных положение может быть иным

Пусть – множество всех вещественных чисел, а }. Множество представляет собой незамкнутый отрезок вещественной оси и не имеет наибольшего и наименьшего элементов. Однако можно говорить о границах такого множества, понимая под ними числа и , дополняющие множество до замкнутого отрезка. При этом точка называется верхней границей множества ,или супремумом, и обозначается , а точка называется нижней границей множества ,или инфинумом, и обозначается .

Согласно теореме о верхней и нижней границах подмножества можно утверждать:

если то .

Действия над множествами во многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре. Вспомним основные ее законы.

Пусть и – некоторые числа, ( + )– их сумма и ( )– их произведение. Сумма и произведение чисел обладают следующими свойствами, называемыми законами алгебры:

1. – коммутативный или переместительный закон;

2. – ассоциативный или сочетательный закон;

3. – дистрибутивный или распределительный закон.

В ассоциативном и коммутативном законах можно заменить действие сложения умножением, а действие умножения сложением. Однако в дистрибутивном законе подобной симметрии нет. Если в этом законе заменить сложение умножением, а умножение сложением, то придем к абсурду:

.

В отличие от элементарной алгебры в алгебре множеств все три закона симметричны относительно действий сложения и умножения.

Рассмотрим числа и . Это замечательные числа! Прибавление первого и умножение на второе не меняет ни одного числа:

, .

Второе соотношение получено из первого заменой на и на . Но число играет особую роль по сравнению со всеми другими числами, в том числе и с единицей. Это вытекает из соотношения . Если заменим здесь на и на , то получим соотношение , которое почти никогда не будет верным. В алгебре множеств сходство между нулем и единицей значительно большее, чем в обычной алгебре.

Теория множеств, являясь фундаментом, в свою очередь, получает дальнейшее развитие в таком разделе математики, как высшая алгебра.

Правила выполнения алгебраических действий (сложение, умножение, деление) для различных объектов (рациональные и комплексные числа, векторы, матрицы и т.п.) различны. Однако эти действия имеют общие свойства, значение которых позволяет установить возможность или невозможность применения этих действий для конкретного класса объектов, составляющих множества. Установление этих свойств приводит к понятиям алгебраической операции, группы, кольца, поля.