Элементы теории множеств и ее применение в моделировании технических систем.
Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которые трудно определяются через элементарные понятия. Одним из наиболее распространенных его определений является следующее:
Множество– совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.
Афинная геометрия (а) с параллельным проецированием, проективная геометрия (б) с проецированием от точечного источника
Топология (а), содержащая неразрывную деформацию, и теория точечных множеств (б), описывающая рассеяние
Приведем примеры множеств: множество оборудования механообраба-тывающего цеха, множество деталей, множество возможных вариантов технологического процесса обработки, множества инструмента, операций, персонала и т.д.
Отдельные объекты представляют собой элементы множества, которое обозначается парой фигурных скобок { }. Для конкретных множеств с этой целью используются различные прописные буквы или прописные буквы с индексами: , , …. Элементы множества обозначаются различными строчными буквами или строчными буквами с индексами , …. Используются символы принадлежности и непринадлежности ( или ) элемента или элементов множеству:
· – элемент принадлежит множеству или является элементом множества ;
· (или ) – элемент не является элементом множества (элемент не принадлежит множеству ).
Вместо записи , , …, с целью сокращения можно использовать запись .
Множество конечное, если количество его элементов представляет собой натуральное конечное число , и бесконечное, если оно содержит бесконечное число элементов .
Существует два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например . Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многоточием.
Отдельный способ задания множества состоит в том, что указываются все элементы множества.
Если количество станков в цехе, то множество токарных станков запишется в виде:
.
Читается: множество состоит из элементов множества , обладающих тем свойством, что является токарным станком. В случаях, когда ясно, из какого множества берутся элементы , указания о принадлежности к множеству можно не делать:
проходной резец},
.
В первом случае ясно, что элементы принадлежат к множеству резцов, а во втором – к множеству решений уравнения , т.е. к множеству .
Если – множество целых чисел, то – множество .
Пустым множеством (Æ) называется множество, не содержащее ни одного элемента.
=Æ, так как уравнение не имеет вещественных решений.
Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.
Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Множества и не равны , если либо в множестве есть элементы, не принадлежащие , либо в множестве есть элементы, не принадлежащие .
Символу равенства множеств присущи свойства:
· – рефлексивность;
· если , то – симметричность;
· если и , то – транзитивность.
Из определения равенств множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несуществен:
.
Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов. Запись следует заменить , т.к. в первом случае наблюдается повторение одних и тех же элементов.
Множество является подмножеством множества , если любой элемент множества является элементом множества .
Для определения подмножества используются символы:
– квантор, означает «любой», «каков бы ни был», «для всех».
– символ следствия (импликации), означающий «влечет за собой».
Определение подмножества:
Для любого утверждение « принадлежит »влечет за собой утверждение « принадлежит »запишется в виде:
" [ ]
кратко: обозначает, что является подмножеством или ,содержащий .
Если содержит и другие элементы, кроме элементов из , то используют символ – строгое включение: . Связь между символами :
– обозначение эквивалентности «то же самое, что».
Свойства подмножеств:
· – рефлексивность
· – транзитивность.
Всегда можно считать, что любое множество содержит в себе в качестве подмножества пустое множество: Æ .
Часто возникающая задача определения наибольшего или наименьшего элемента множества для конечных множеств не представляет труда, но для бесконечных положение может быть иным
Пусть – множество всех вещественных чисел, а }. Множество представляет собой незамкнутый отрезок вещественной оси и не имеет наибольшего и наименьшего элементов. Однако можно говорить о границах такого множества, понимая под ними числа и , дополняющие множество до замкнутого отрезка. При этом точка называется верхней границей множества ,или супремумом, и обозначается , а точка называется нижней границей множества ,или инфинумом, и обозначается .
Согласно теореме о верхней и нижней границах подмножества можно утверждать:
если то .
Действия над множествами во многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре. Вспомним основные ее законы.
Пусть и – некоторые числа, ( + )– их сумма и ( )– их произведение. Сумма и произведение чисел обладают следующими свойствами, называемыми законами алгебры:
1. – коммутативный или переместительный закон;
2. – ассоциативный или сочетательный закон;
3. – дистрибутивный или распределительный закон.
В ассоциативном и коммутативном законах можно заменить действие сложения умножением, а действие умножения сложением. Однако в дистрибутивном законе подобной симметрии нет. Если в этом законе заменить сложение умножением, а умножение сложением, то придем к абсурду:
.
В отличие от элементарной алгебры в алгебре множеств все три закона симметричны относительно действий сложения и умножения.
Рассмотрим числа и . Это замечательные числа! Прибавление первого и умножение на второе не меняет ни одного числа:
, .
Второе соотношение получено из первого заменой на и на . Но число играет особую роль по сравнению со всеми другими числами, в том числе и с единицей. Это вытекает из соотношения . Если заменим здесь на и на , то получим соотношение , которое почти никогда не будет верным. В алгебре множеств сходство между нулем и единицей значительно большее, чем в обычной алгебре.
Теория множеств, являясь фундаментом, в свою очередь, получает дальнейшее развитие в таком разделе математики, как высшая алгебра.
Правила выполнения алгебраических действий (сложение, умножение, деление) для различных объектов (рациональные и комплексные числа, векторы, матрицы и т.п.) различны. Однако эти действия имеют общие свойства, значение которых позволяет установить возможность или невозможность применения этих действий для конкретного класса объектов, составляющих множества. Установление этих свойств приводит к понятиям алгебраической операции, группы, кольца, поля.
Дата добавления: 2015-04-03; просмотров: 1374;