МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Это метод отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

в случае, когда правая часть имеет специальный вид, самая общая запись которого:

, (26)

где – многочлены степени и соответственно:

.

Укажем характерные частные случаи функции (26).

1. . В этом случае правая часть является многочленом (поскольку ). Например:

1)

;

2)

.

2. . В этом случае . Например:

3. . В этом случае . Например:

4. . В этом случае . В частности, если степень многочлена , то многочлен является постоянным числом:

Например:

5. . В этом случае . Например:

Рассмотрим комплексное число , где и берутся из записи (26) правой части неоднородного уравнения. Корни характеристического уравнения записываются в виде

,

где – дискриминант уравнения.

Кратность числа как корня характеристического уравнения может иметь одно из трех значений:

1) ; это означает, что не является корнем характеристического уравнения;

2) ; это означает, что является простым корнем характеристического уравнения; при этом дискриминант уравнения отличен от нуля;

3) , то есть — кратный корень; последнее возможно в том и только том случае, когда ; корень при этом вещественный, так как его мнимая часть .

На практике для определения кратности нужно решить (квадратное) характеристическое уравнение и сравнить его корни с числом .

Пусть – максимальная из степеней и многочленов и в записи правой части (26).

Можно убедиться непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение, что функция

, (27)

где и – многочлены степени :

,

,

при некоторых значениях коэффициентов этих многочленов является частным решением неоднородного уравнения. Для отыскания этих (неопределенных вначале) коэффициентов у функции (27) вычисляются первая и вторая производные; затем подставляются в исходное уравнение, после чего приравниваются коэффициенты при одинаковых функциях-слагаемых обеих частей равенства. Это дает систему уравнений для отыскания коэффициентов .

В итоге отыскание частного решения проводится по следующему алгоритму:

1. Нахождение корней характеристического уравнения.

2. Определение величин .

3. Выявление кратности числа как корня характеристического уравнения.

4. Запись частного решения в виде (27) с неопределенными коэффициентами многочленов .

5. Вычисление производных .

6. Подстановка в дифференциальное уравнение.

7. Приравнивание коэффициентов при одинаковых функциях в обеих частях равенства.

8. Решение получившейся системы уравнений, получение коэффициентов многочленов .

9. Запись частного решения с найденными коэффициентами.

После этого можно записать общее решение в виде

Примеры. 1. Рассмотрим уравнение .

Выполняем последовательно инструкции алгоритма:

1. . Общее решение соответствующего однородного уравнения: .

2. Находим параметры правой части:

3. ; кратность .

4. .

5. .

6. Подставляем в уравнение: .

7. ;

8. ; .

9. .

Общее решение неоднородного уравнения:

.

2. Рассмотрим уравнение

.

Выполняем последовательно инструкции алгоритма:

1. . Общее решение соответствующего однородного уравнения: .

2. Находим параметры правой части:

3. ; кратность .

4. ;

5.

;

.

6. Подставляем в уравнение:

.

7. Приводим подобные члены и приравниваем коэффициенты при

, при и при :

8. Решаем систему: .

9. .

Общее решение неоднородного уравнения:

.

3. Рассмотрим уравнение .

1. . Общее решение соответствующего однородного уравнения:

.

2. Находим параметры правой части:

;

.

3. ; кратность .

4. ;

5. ;

.

6. Подставляем в уравнение:

;

.

7. Приравниваем коэффициенты при и при :

8. .

9. .

Общее решение неоднородного уравнения:

.