Схема нахождения нормальной жордановой формы матрицы оператора и построения жорданова базиса.
Схема построена на построении циклических инвариантных подпространств, которые были рассмотрены в первой части нашего курса.
1. Нахождение собственных векторов и собственных значений оператора А. Если количество собственных линейно независимых векторов равно размерности пространства, то в указанном базисе матрица оператора имеет диагональный вид;
2. Если для кратного собственного значения кратности k количество линейно независимых собственных векторов также равно k, то в этом базисе матрица также имеет диагональный вид;
3. Для кратных собственных значений l таких, что количество линейно независимых собственных векторов меньше кратности корня, поиск базисных векторов производится так:
а) находим собственные векторы А, т.е. базис N(Al) ядра оператора Аl = А – lЕ;
б) находим М(Аl) – образ оператора Аl и его базис;
в) ищем базис М(Аl) ∩ N(Аl) ;
г) для каждого вектора М(Аl) ∩ N(Аl) находим прообраз 1-го слоя такой, что: Аl , прообраз 2-го слоя такой, что: Аl , и т.д. до тех пор пока они есть.
Жорданов базис формируется следующим образом:
а) первыми в базис попадают базисные векторы ядра оператора Аl вместе со своими прообразами: х1, y11, y12, …, х2, y21, y22,… …, хр, yp1, yp2….
б) затем в базис включаются векторы хp+1, хp+2, …, хl, дополняющие базис М(Аl) ∩ N(Аl) до базиса ядра оператора Аl , если такие есть.
* Замечание: Процесс проводится для каждого значения l до тех пор пока количество векторов, включенных в базис не станет равным кратности k собственного значения l.
Искомый базис: х1, y11, y12, …, х2, y21, y22,… …, хр, yp1, yp2…., хp+1, хp+2, …, хl.
(Всего k векторов).
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1445;