Amp; 5.11. Загальна схема дослідження та побудови графіка функції.

1. Знайти область визначення функції.

2. З'ясувати, чи є функція парною, непарною або періодичною.

3. Знайти точки перетину графіка з осями координат (якщо це не важко).

4. Знайти проміжки монотонності функції і її екстремуми.

5. Знайти проміжки опуклості графіка функції і точки перегину.

6. Знайти асимптоти графіка функції.

7. Побудувати графік, використовуючи знайдені результати дослідження.

Приклад 1. Побудувати графік функції .

Розв’язання.

1. Область визначення функції : .

2. . Дана функція не є ні парною, ні непарною, ні періодичною.

3. При , . Графік проходить через початок координат.

4. Знаходимо :

5. Знаходимо

Друга похідна в нуль не перетворюється і зазнає розриву при . У проміжку маємо , тобто в цьому проміжку крива опукла вгору; в проміжку маємо , тобто в цьому проміжку крива опукла вниз. Точок перегину немає.

6. Знайдемо асимптоти графіка функції.

Оскільки , то пряма є вертикальною асимптотою.

Знаходимо похилу асимптоту :

Пряма є похилою асимптотою графіка.

7. На основі знайдених даних будуємо графік функції