Нормальные операторы

Def: Линейный оператор А называется нормальным, если А^*А = АА^*.

1° Из определения: любой унитарный оператор является нормальным.

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда А и А^* имеют общий собственный

вектор е, такой, что ||e|| = 1, Ae = le, A^*e = .

◀ Пусть λ – собств. ззначение оператора А. Обозначим R_λ – собственное подпространство оператора А, т.е. множество хÎV, Ах = lх.

Пусть хÎR_λ, Ах = lх. Тогда А(A^*х) = (АA^*)х = (A^*А)х = A^*(Ах) = A^*(lх) = l(A^*х).

Получили А(A^*х) = l(A^*х), A^*хÎR_λ. Итак, хÎR_λ Þ A^*хÎR_λ, т.е. оператор A^* действуют из R_λ в R_λ. Следовательно $еÎR_λ, ||e|| = 1, такой, что A^*e = me (собственный вектор А^*), но еÎR_λ (собственный вектор А); Ах = le; A^*e = me. При этом l = l(e, e) = (le, e) = (Ae, e) = (e, A^*e) = (e, me) = (e, e) = ▶

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис

{e_k}, состоящий из собственных векторов А и А^*.

◀ 1) по предыдущей теореме $е₁ÎV, ||e₁|| = 1 и являющийся общим собственным вектором операторов А и А^* с собственными значениями l₁, соответственно.

Пусть V₁ = ℒ^{^}(e₁) Þ V = ℒ(e₁) ÅV₁. Это значит, что если xÎV₁ Þ x^e₁.

xÎV₁ Þ (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = l₁(x, e₁) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, l₁e₁) = (x, e₁) = 0, т.е. Ax, A^*xÎV₁.

Следовательно операторы А и А^* действуют в V₁.

2) Тогда А и А^* имеют в V₁ общий собственный вектор е₂ (е₂ÎV₁, е₂^е₁, ||e₂|| = 1) с собственными значениями l₂, соответственно. Пусть V₂ = ℒ^{^}(e₁, e₂) Þ V = ℒ(e₁, e₂) ÅV₂, Это значит, что если xÎV₂, то х^е₁, х^е₂.

xÎV₂ Þ (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = l₁(x, e₁) = 0;

(Ax, e₂) = (x, A^*e₂) = (x, e₂) = l₂(x, e₂) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, l₁e₁) = (x, e₁) = 0;

(A^*x, e₂) = (x, Ae₂) = (x, l₂e₂) = (x, e₂) = 0,

т.е. Ax, A^*xÎV₂.

Следовательно операторы А и А^* действуют в V₂.

3) ….

Продолжая приведенные рассуждения мы построим ортонормированный базис {e_k} из собственных векторов общих для А и А^* ▶

Следствие 1: Для нормального оператора А существует базис в котором А имеет

диагональную матрицу.

Следствие 2: Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему

собственных векторов.

И, наконец:

Тº. Если оператор АÎL(V, V) имеет ортонормированный базис из собственных

векторов, то этот оператор – нормальный. Доказать самостоятельно.