Общие замечания и напоминания
Def: Оператор А, действующий в вещественном линейном пространстве называется линейным, если "x, yÎV, "aÎR
1) A(x + y) = Ax + Ay
2) A(ax) = aA(x)
Def: Вектор xÎV, x ¹ 0 называется собственным вектором оператора А, если $aÎR такое, что Ax = ax и a при этом называется собственным значением оператора А.
1°. Собственные значения оператора А являются корнями характеристического уравнения det(A – lЕ) = 0. Наоборот, вообще говоря, неверно. Корень характеристического уравнения является собственным значением оператора А только в случае, когда этот корень вещественен.
Def: Оператор А* называется сопряженным к оператору А, если "х, yÎV, (Ax, y) = (x, A*y).
2°.Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный оператор, который также является линейным.
При доказательстве этой теоремы в комплексном пространстве используется понятие полуторалинейной формы. В вещественном пространстве используется понятие билинейной формы.
Def: Функция В(x, y) называется билинейной формой в V, если "x, yÎV, "a, bÎR:
1) B(a1x1 + a2x2, y) = a1B(x1, y) + a2B(x2, y)
2) B(x,b1y + b2y2) = b1B(x, y1) + b2B(x, y2)
3°. Для любой билинейной формы В(x, y) существует линейный оператор А такой, что В(x, y) = (Ax, y).
Aналогом эрмитовых форм в вещественном пространстве служат симметричные билинейные формы.
Def: Билинейная форма В(x, y) называется симметричной, если B(x, y) = B(y, x). Билинейная форма В(x, y) называется кососимметричной, если B(x, y) = -B(y, x).
4°. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососиметричной билинейной формы.
5°. Для того, чтобы билинейная форма B(x, y), заданная в вещественном евклидовом пространстве V, была симметричной необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении B(x, y) = (Ax, y) был самосопряженным.
Т°. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного
оператора А в евклидовом пространстве – вещественны.
◀ Пусть l = a + bi – корень характеристического уравнения det(A – lE) = 0. Пусть (aik) – элементы матрицы оператора в некотором базисе {eik}, (aikÎR). Будем искать решение системы , где l = a + bi. Система имеет решение i =1, 2, 3, …, n, ибо определитель системы равен 0. Пусть решение , k = 1, 2, 3, …, n. Подставляя в систему и приравнивая вещественные и мнимые части выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, имеем: ,
, или в векторном виде .
Умножим скалярно первое уравнение на y, а второе на x :
.
Учитывая, что (Ax, y) = (x, Ay) (ведь А – самосопряженный) имеем
a(x, y) – b(y, y) = a(x, y) + b(x, x), т.е. b((x, x) + (y, y)) = 0 Þ b = 0, т.е. l = aÎR ▶
6°. У каждого линейного самосопряженного оператора А в n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.
7°. В базисе из нормированных ортогональных собственных векторов матрица линейного самосопряженного оператора А имеет диагональный вид и по диагонали стоят собственные значения.
8°. В произвольном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора будет симметричной (АТ = А). Верно и обратное. Этим вещественный случай отличается от комплексного: в комплексном случае оператор А является эрмитовым, когда матрица этого оператора эрмитова (т.е. ).
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1132;