Момент силы. Момент инерции.

Теперь мы будем рассматривать движение такого тела, при котором существенную роль играют его размеры и форма, и поэтому тело нельзя рассматривать как материальную точку.

Введем основные величины применительно к простому случаю вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть внешние силы, приложенные к разным точкам тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Будем считать, что при вращении трение пренебрежимо мало. Разобьем тело на столь малые элементы, чтобы их можно было бы считать материальными точками. Пусть на i-ю материальную точку массой m_i и радиуса-вектора , действует внешняя сила под углом к направлению радиуса вектора (рис.14.1). Величина, равная векторному произведению радиуса-вектора материальной точки на вектор силы, называется моментом силы относительно заданной оси вращения:

(1).

Вектор направлен вдоль оси вращения. С помощью правила буравчика определяют, в какую именно сторону вдоль оси он направлен. Размерность [M]=Н.м.

Из (1) вытекает, что . Продолжим линию силы и найдем плечо силы , тогда модуль момента силы: . определяется как произведение силы на плечо.

Если внешние силы приложены к нескольким точкам тела, то результирующий или полный момент относительно оси вращения равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительной той же оси. . Например, на (рис.14.2) результирующий момент: М=М₁–М₂ + М₃.

Введем определение момента инерции тела относительно данной оси вращения. Момент инерции тела относительно оси вращения определяется как сумма моментов инерции материальных точек, составляющих тело.

Момент инерции материальной точки m_i определяется как величина, численно равная произведению массы на квадрат расстояния точки до оси вращения: .

Тогда момент инерции тела: .

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой множество точек с бесконечно малыми массам , и момент инерции тела определяется интегралом. Пределы интегрирования определяются размерами и формой тела:

.

Момент инерции зависит от формы тела, относительно какой оси вращается тело, от распределения массы по объему тела. В таблице приведены моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню   Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкие кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, распределенной по ободу	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания	mR2
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр диска перпендикулярно Проходит через центр плоскости основания
Однородный шар массой m и радиусом R	Проходит через центр шара

 

Если ось вращения перенести на другое расстояние, то момент инерции изменяется и определяется с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния d между осями: