Значащие, верные цифры. Округление чисел

Всякое действительное число (десятичной системы счисления) можно записать в виде конечной или бесконечной десятичной дроби (в так называемой позиционной записи)

, (2.1)

где – десятичные цифры

( ),

причем ; « » – номер разряда, в котором стоит цифра ;

разряд « » называется старшим разрядом числа , разряд « » – младшим разрядом (если дробь конечная) числа .

Единицей « »-го разряда (разряда номера « ») называется число . Учитывая это, число можно записать в виде позиционного разложения

(2.2)

Пример 2.1. Число записать в виде позиционного разложения.

Решение: Имеем

.

В таком разложении каждая цифра числа является множителем перед некоторой степенью десятки: цифра 4 стоит в разряде сотен (старший разряд « »=«2»). Следующая цифра 3 стоит в разряде десятков (разряд «1»), цифра 5 – в разряде единиц (разряд «0»), цифра 7 – в разряде десятых (разряд «–1») и так далее. Последняя цифра 8 стоит в младшем разряде « »=«–4».

Пример 2.2. Число записать в виде позиционного разложения.

Решение: Имеем

= ;

старший разряд « »=«0», младшего разряда нет (дробь бесконечная).

Определение 2.1. Первая слева, отличная от нуля цифра числа , и все расположенные справа от нее цифры (в том числе и нули), называются значащими.

Если в числе есть нули, стоящие до первой ненулевой цифры, то они не являются значащими.

Пример 2.3. В ниже следующих числах подчеркнуты значащие цифры:

, , .

Определение 2.2. Значащая цифра числа – верная, если предельная абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы « »-го разряда (разряда номера « »), то есть

. (2.3)

Пример 2.4. Найти верные цифры в приближенном числе для точного числа .

Решение: Имеем по условию , =0,026. Так как

=0,026 ,

то из неравенства (2.3) следует, что « »=«–1». А это означает, что верной цифрой будет являться цифра, имеющая разряд «–1» (разряд десятых), то есть цифра 3. Верными также будут цифры 7 и 2 (стоящие левее тройки), так как для них выполняется неравенство (2.3):

для цифры , «s»=«1» (разряд десятков):

=0,026 (верно),

для цифры , «s»=«0» (разряд единиц): =0,026 (верно).

Цифры 5, 6 не будут являться верными. Например, для цифры 5 имеем

, «s»=«–2» (разряд сотых): =0,026 (неверно).

Итак, все значащие цифры, стоящие левее верной цифры, также являются верными. Цифра, стоящая правее какой-то верной цифры, не всегда является верной.

В теории погрешности нельзя, вообще говоря, откидывать значащие нули и тем более нельзя откидывать верные нули.

Принято считать следующее: если указано, что все значащие цифры числа верные, то предельная абсолютная погрешность равна половине единицы младшего разряда « » в его позиционной форме записи:

. (2.4)

Пример 2.5. Известно, что в числах , все цифры верные. Найти для них предельные абсолютные, относительные погрешности.

Решение:

1) Так как в числе все цифры верные, то согласно (2.4) (последняя цифра 7 имеет младший разряд « »=«–3»). Соответственно .

2) Для числа младший разряд « »=«–1», то есть . Тогда 0,00012=0,012%.

Если число записано без погрешностей, то полагают, что все его значащие цифры верные (тогда практически задача нахождения не вызывает труда).

При многих вычислениях получаются результаты с большим числом значащих цифр. Тогда в зависимости от задачи целесообразно некоторые из них отбросить – округлить число. На практике обычно пользуются правилами округления чисел:

О.1) если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не изменяется;

О.2) если первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти и после нее есть ненулевые цифры, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу;

О.3) если первая отбрасываемая цифра равна пяти и после нее нет ненулевых цифр, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она – четная, и увеличивается на единицу, если она – нечетная (правило четной цифры).

Покажем применимость сначала правила О.3. Пусть . Округление до сотых (то есть с сохранением первых двух цифр после запятой) дает результат (первая отбрасываемая цифра 5, после нее стоят три нуля, первая сохраняемая цифра 2 не меняется, так как она четная). Если , то округление до десятых дает .

Пример 2.6. Округлить число до каждого разряда.

Решение: Округление числа удобнее оформить следующим образом:

Результат округления	Правило	Комментарии к правилу
до десятков	О.2	первая отбрасываемая цифра 6 (больше 5)
до единиц =16	О.1	первая отбрасываемая цифра 2 (меньше 5)
до десятых =16,3	О.2	первая отбрасываемая цифра 5, после нее есть ненулевые цифры
до сотых =16,25	О.1	первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5)
до тысячных =16,250	О.1	первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5)
=16,2501	О.2	первая отбрасываемая цифра 7 (больше 5)
=16,25008	О.2	первая отбрасываемая цифра 8 (больше 5)
=16,250078	О.3	первая отбрасываемая цифра 5, после нее стоят только нули, первая сохраняемая цифра 8 не меняется, так как она четная
=16,2500785	О.1	первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5)

При округлении приближенного числа предельная абсолютная погрешность результата (округленного числа) складывается из предельной абсолютной погрешности исходного числа и погрешности округления , то есть

. (2.5)

Пример 2.7. Округлить число ( =0,0036) до числа , оставив в нем только верные цифры. Найти .

Решение:

1) Так как =0,0036 , то в числе верными будут цифры 7, 2, 4, 5 (последняя цифра 7 не является верной): . Сначала округляем число , сохраняя при этом верные цифры (то есть до сотых), откидывая последнюю цифру 7: . Считаем погрешность округления и общую погрешность полученного числа :

,

.

2) На этот раз , то есть в числе верными будут первые три цифры: . Округляем число , сохраняя верные цифры (то есть до десятых): . Снова считаем погрешность округления и общую погрешность

,

.

3) Так как , то теперь в числе все цифры верные. Тогда , .

Ответ: , .