Погрешности значения функции

При вычислении значения функции в точке (считаем приближенным значением точного числа ) возникают погрешности – предельная абсолютная и предельная относительная . Выразим эти погрешности через погрешности числа (будем полагать, что функция дифференцируема в точке ).

Так как функция дифференцируема в точке , то

, (4.1)

где мало при малом (иными словами, слагаемым в формуле (4.1) можно пренебречь, если мало).

Учитывая равенство (4.1), истинная абсолютная погрешность будет оцениваться неравенством (приближенным)

,

откуда по определению предельной абсолютной погрешности

. (4.2)

Итак, предельная абсолютная погрешность значения функции в точке ( – приближенное число) равна произведению модуля производной этой функции в точке на предельную абсолютную погрешность числа .

Соответственно предельная относительная погрешность вычисляется следующим образом

= . (4.3)

Найдем с помощью формул (4.2), (4.3) погрешности значений основных элементарных функций.

Пусть ( – действительное число). Тогда

, .

В частности при : .

Пусть . Тогда

, .

Пусть . Тогда

, .

В частности, если , то .

Аналогично определяются погрешности значений других основных элементарных функций (см. таблицу 4.1).

Таблица 4.1.

Пример 4.1. Дана функция . Протабулировать ее на отрезке (считать ), разбив его на равных частей (все расчеты проводить с 4 знаками после запятой). Вычислить предельные абсолютные, относительные погрешности значений функции в узлах табулирования.

Решение: Протабулировать функцию на отрезке с постоянным шагом означает составить таблицу значений , (точки называются узлами табулирования), где

. (4.4)

В нашем случае , , ; узлы определяются следующим образом:

. (4.5)

Вычислим значения функции в узлах табулирования (4.5):

.

Имеем , ;

, 3,3261,

,

и так далее.

Все вычисления значения функции в узлах табулирования заполняем в таблицу 4.2.

Учитывая формулы (4.2), (4.3), находим погрешности в узлах (4.5) (при этом число можно считать точным, а тогда ; в остальных же узлах (4.5) ,00005)

, .

Таблица 4.2.

i
0,6284 0,7927 0,5334 3,3261 4,8678 1,46
1,2568 1,2111 0,2846 3,4057 8,0695 2,37
1,8852 1,3730 0,1518 3,5248 1,0618 0,3
2,5136 1,5854 0,0809 3,6663 1,1724 0,32
3,1420 1,7726 0,0432 3,8158 1,1944 0,31

 

 








Дата добавления: 2015-04-25; просмотров: 2648;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.