Развитие учащихся на уроках математики

2.1. Роль математики в развитии учащихся

В проекте Концепции математического образования (в 12-летней школе) выделяются две генеральные функции школьного математического образования: общеобразовательная (образование с помощью математики) и специализирующая (собственно математическое образование). Социальной значимостью образования с помощью математики является повышение средствами математики уровня интеллектуального развития человека, обеспечение функциональной грамотности каждого члена общества. Социальная значимость собственно математического образования заключается в необходимости поддержания традиционно высокого уровня изучения математики, сложившегося в отечественной школе, формировании будущего кадрового потенциала российского общества.

Математика, в отличие от других естественнонаучных дисциплин, изучает не предметы реального мира, а количественные отношения и пространственные формы, им свойственные. В связи с этим выделяется абстрактность объектов, изучаемых математикой. Эта абстрактность порождает два свойства математических знаний: универсальность и формально-логическую выводимость.

Универсальность математических знаний обнаруживается в проникновении ее методов, прежде всего метода математического моделирования, в другие области научного знания, как естественнонаучного (физика, биология, химия и др.), так и гуманитарного (экономика, психология, лингвистика и др.). Математические модели, описывающие взаимосвязь количественных характеристик различных процессов и явлений, являются неотъемлемым элементом при проведении исследования в любой области знаний. Их роль возрастает в связи с расширяющимися возможностями компьютерной обработки данных. В связи с этим математическое образование занимает одно из ведущих мест в системе общего образования. Проникновение математики в разные сферы деятельности повлияло на то, что и в повседневной практике довольно часто используются математические знания. Это и применение простых математических расчетов, и использование элементов высшей математики, анализа и теории вероятностей (например, вычисление забытой комбинации цифр на коде замка чемодана, биржевые и фондовые игры с акциями и т. д.). Данные примеры доказывают, что все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека.

Процесс усвоения математических знаний, которые представлены как хорошо организованная система взаимосвязанных между собой элементов, формирует системность и структурность мышления. Постоянного проведения анализа, сравнения и синтеза информации требует процесс решения математических задач. Работа с математическими понятиями раскрывает процессы обобщения и классификации. Развивать пространственные представления и воображение позволяет изучение геометрических объектов. Доказательство теорем раскрывает процесс построения аргументации для проведения доказательных рассуждений.

Велика значимость математического образования для формирования духовной сферы человека, интеллектуальных и морально-этических компонентов человеческой личности, что обусловлено тем огромным запасом общечеловеческих и общекультурных ценностей, которые накопила математическая наука в ходе своего развития.

Формированию научного мировоззрения способствует осознание взаимосвязи реального и идеального, происхождения математических абстракций из практики, характера отражения математической наукой окружающего мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике. Изучение математики вносит определяющий вклад в умственное развитие человека. В процессе обучения в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются анализ и синтез, индукция и дедукция, конкретизация и обобщение, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения и тем самым развивают логическое мышление.

Ведущая роль принадлежит математике и в формировании алгоритмического мышления, а также в формировании логико-алгоритмического подхода в обучении, в котором выделяются два аспекта: обучение алгоритмам и построение алгоритмов самого обучения, то есть воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе изучении математики систематично и последовательно формируются умения и навыки умственного труда: умение планировать свою работу, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов. В ходе основной учебной деятельности, в ходе решения задач на уроках математики развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Описанные выше операции и свойства мышления обусловливают обязательность включения математики в содержание общего образования как инструмента развития интеллектуальной сферы обучающегося. Этим определяется и сохранение ведущей роли математического образо­вания в общей системе образования.

О значении, которое придается изучению математики, говорит и тот факт, что систематический школьный курс математики по отводимому на его изучение времени занимает второе место, незначительно уступая лишь курсу русского языка. В настоящее время трудно найти такую область человеческой деятельности, активное участие в которой не требовало бы определенной математической подготовки.

В дидактике в зависимости от того, какая учебная задача должна быть решена в процессе обучения и какие учебные действия выполняют учащиеся, выделяют различные виды учебной деятельности: внешние или внутренние, практические или интеллектуальные. Такое деление условно, так как в процессе обучения эти виды деятельности тесно взаимосвязаны.

Деятельность называют репродуктивной, если учащиеся выполняют воспроизводящие действия. Если учебные действия выполняются в варьирующихся, т.е. видоизмененных, условиях, то такую деятельность можно назвать вариативно-воспроизводящей. Такая деятельность наиболее характерна для обучения младших школьников математике, так как усвоение математики связано с применением правил, способов действия, алгоритмов для решения различных задач.

Деятельность называется продуктивной (творческой или эвристической), если она направлена на поиск новых знаний, на нахождение новых способов действий. Творческая деятельность выполняется в нестандартных условиях, когда требуется поиск, в результате которого появляется нечто новое (знание, способ действия). Если ученики находят новый способ действия самостоятельно, опираясь на имеющиеся у них знания, то такую деятельность можно назвать исследовательской. Если же учащимся помогает учитель, то творческая деятельность носит частично-поисковый характер. Следовательно, творческая деятельность может осуществляться на разных уровнях (частично-поисковом и исследовательском) и каждый уровень характеризуется самостоятельностью выполнения различных действий (операций).

На становление творческой деятельности школьников существенное влияние оказывает построение обучения, которое во многом определяется постановкой учебных задач, способствующих мотивации учения, и характером предлагаемых заданий, выполнение которых требует разнообразных практических и интеллектуальных действий.

2.2. Приемы учебной деятельности и

их формирование у младших школьников

Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез - это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое.

В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез - через анализ.

Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции.

Сравнение – такой прием интеллектуальной деятельности, который используют для выявления сходства и различия в данных объектах. Сравнение может ограничиться только фиксацией сходства (различия), т.е. осуществляться на уровне непосредственного восприятия данных объектов. Такое сравнение называется неполным. Если сравнение заканчивается определенными выводами, то его можно назвать полным. Сравнение по сходству называют сопоставлением, а по различию — противопоставлением.

Данный прием имеет сложный операционный состав, поэтому для успешного самостоятельного использования его учащимися недостаточно простого показа применения этого приема на каком-либо образце. Необходимо научиться выполнять каждую из операций, входящих в прием, и только после этого применять его для решения различных задач.

В состав приема сравнения входят следующие основные операции:

а) выделение сходных и различных признаков предметов;

б) расчленение признаков на существенные и несущественные;

в) выделение признаков, являющихся основанием сравнения;

г) формулировка вывода из проведенного сравнения.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие является основой приема классификации.

Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: 1) ни одно из подмножеств не пусто; 2) подмножества попарно не пересекаются; 3) объединение всех подмножеств составляет данное множество. Предлагая детям задания на классификацию, необходимо учитывать эти условия.

Прием аналогии. Понятие «аналогичный» в переводе с греческого языка означает «сходный», «соответственный». Аналогия - сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий. Данные прием помогает учащимся открывать новые знания, способы деятельности или использовать их в измененных условиях. Под аналогией в математике понимается особый вид умозаключения (рассуждения), который схематически можно представить в следующем виде:

объект А обладает признаками а, b, с, х;

объект В обладает признаками а, b, с;

вывод: объект В обладает признаком х.

Но необходимо иметь в виду, что вывод по аналогии в общем случае является лишь предположительным и может оказаться неверным. Однако в условиях обучения это не препятствие для использования данного приема, так как учитель всегда может поправить школьника, что также играет положительную роль и имеет обучающее значение, приучает детей проверять сделанные ими по аналогии выводы.

Используя прием аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

1. Аналогия основывается на сравнении. Поэтому успех ее применения существенно зависит от того, насколько учащиеся овладели этим приемом.

2. Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен учащимся, а второй сравнивается с ним по каким-либо признакам.

Прием аналогии способствует повторению изученного в связи с рассмотрением нового учебного материала, что систематизирует знания и умения школьников.

3. Для ориентации учащихся на использование аналогии необходимо в доступной для них форме разъяснить ее сущность, обратив при этом внимание на то, что в математике нередко новый способ вычислений, преобразований и т.д. можно открыть по догадке, внимательно изучая известный способ действий и данное новое задание (термин «аналогия» можно не вводить).

4. Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным.

С приемом сравнения тесно связан прием обобщения.

Обобщить - значит зафиксировать то общее, существенное, что имеется в. каждом объекте рассматриваемой совокупности.

В математике обобщение — это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов или способов действий с ними.

Необходимо различать результат обобщения и процесс, ведущий к нему. Результат обобщения фиксируется в понятиях, предложениях (суждениях), разных правилах. Процесс обобщения, может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения - теоретическом и эмпирическом.

В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений).

В переводе на русский язык «индукция» означает «наведение», поэтому, используя индуктивные умозаключения, учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.

Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

2) рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых теряется та закономерность, которую ученики должны подметить;

3) варьировать виды частных объектов, т. е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают.

Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Суждения бывают единичными: вних что-то утверждается или отрицается относительно одного предмета, а также частными и общими. В частных что-то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества предметов.

В общих сужденияхчто-то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности.

Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными.

Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения оданном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение - частной посылкой, единичное суждение - заключением.

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся (Н.Б. Истомина).

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем ученикам начальных классов, используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметными действиями. Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала.