Метод множественной корреляции.

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, пользуются уравнениями множественной регрессии:

Здесь мы имеем дело уже не с линией регрессии, а с поверхностью регрессии при k = 2 и с гиперповерхностью при k > 2. В общем случае, как указывалось выше, эту поверхность называют поверхностью отклика.

При построении поверхности отклика на координатных осях факторного пространства откладываются численные значения параметров (факторов). Исходный статистический материал представляют в виде таблицы.

Прежде всего перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам:

где у⁰_i, х_i⁰ — нормированные значения соответствующих факторов;

- средние значения факторов; S_y, S_x,— среднеквадратичные отклонения факторов:

В таблице приведен исходный статистический материал в новом масштабе:

В новом масштабе имеем:

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен:

Вычисленный по формуле выборочный коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе r*_ух.

Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

Коэффициенты уравнения находятся из условия:

Условия минимума функции S определяются так же, как в случае зависимости от одной переменной:

и система нормальных уравнений имеет вид:

Умножим левую и правую части уравнений на 1/(N—1). В результате при каждом коэффициенте а, получается, согласно формуле, выборочный коэффициент корреляции r*. Принимая во внимание, что

получаем систему нормальных уравнений:

Следует иметь в виду, что r* x_l x_m = r* x_m x_l . Коэффициенты корреляции легко вычисляются простым перемножением соответствующих столбцов таблицы. Для многопараметрических процессов система оказывается высокого порядка и для ее решения необходимо использовать вычислительную машину.

Решив систему, рассчитывают коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии:

В случае выборок небольшого объема в величину R необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку. Чем меньше число степеней свободы выборки f = N—l, тем сильнее преувеличивается сила связи, оцениваемая коэффициентом множественной корреляции. Формула для коррекции:

где R'—скорректированное значение коэффициента множественной корреляции; l—число коэффициентов уравнения регрессии.

Для практического использования уравнения необходимо перейти к натуральному масштабу по формулам:

При наличии параллельных опытов можно рассчитать дисперсию воспроизводимости и провести статистический анализ уравнения регрессии.