Определение коэффициентов уравнения регрессии методом Брандона.

По этому методу уравнение регрессии записывается в виде:

где - любая функция величины x_j.

Порядок расположения факторов x₁, x₂, … x_k в выражении не безразличен для точности обработки результатов наблюдений: чем больше влияние на у оказывает параметр x_j , тем меньше должен быть порядковый номер индекса j. Вид функции выбирается с помощью графических построений. Вид функции выбирается с помощью графических построений. Вначале по точкам выборки системы величин y, x₁, x₂, … x_k строятся поле корреляции и эмпирическая линия регрессии y-x₁ . Таким образом определяется тип зависимости

и методом наименьших квадратов рассчитываются коэффициенты этого уравнения регрессии. Затем составляется выборка новой величины

Эта величина не зависит уже от х₁ , а определяется только параметрами x₂, x₃, … x_k. Поэтому можно записать

По точкам новой выборки величин y₁ и х₂ вновь строятся корреляционное поле и эмпирическая линя регрессии, характеризующая зависимость y₁ от х₂ :

Рассчитываются ее коэффициенты и вновь составляется выборка новой величины

Эта величина не зависит уже от двух факторов x₁ и x₂ и может быть определена из следующего уравнения регрессии:

Такая процедура определения функций продолжается до получения выборки величины:

Эта величина не зависит от всех факторов x₁, x₂, … x_k и определяется коэффициентом исходного уравнения:

где N – объем выборки.

Методы планирования экспериментов.

Методы планирования экспериментов позволяют свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции.

Оптимальный двухуровневый план 2^к.

При планировании экспериментов условия опытов представляют собой фиксированное число значений уровней для каждого фактора. Если эксперименты проводятся только на двух уровнях, при двух значениях факторов, и при этом в процессе эксперимента осуществляются все возможные комбинации из k факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ) или плана 2^k.

Уровни факторов представляют собой в этом случае границы исследуемой области по данному технологическому параметру. Пусть, например, изучается влияние на выход продукта у трех факторов: температуры Т в диапазоне 100—200 ºС, давления Р в диапазоне 2—6 МПа == (20—60 кгс/см²) и времени пребывания t = 10— 30 мин. Верхний уровень по температуре z₁^max = 200 °С, нижний; z₁^min = 100 °С, z₁⁰ = 150 °С, Δz₁ = 50 °С:

Вообще для любого фактора z_j имеем:

Точка с координатами (z₁⁰, z₂⁰, … ,z_k⁰) носит название центра плана, иногда ее называют основным уровнем; , Δz_j - единица варьирования, или интервал варьирования по оси z_j. От системы координат z₁, z₂ z₃, ..., z_k перейдем к новой безразмерной системе координат x₁, x₂, …. , x_k. Формула перехода (кодирования)

В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1 нижний равен - 1, координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. В нашей задаче k = 3. Число возможных комбинаций N из трех факторов на двух уровнях равно N = 2^k == 2³ = 8. Запишем план проведения экспериментов (матрицу планирования) в виде таблицы.

Значения выхода у, полученные в результате реализации плана экспериментов, приведены в последнем столбце таблицы.

Представленный в табл. кодированный план геометрически может быть интерпретирован в виде куба, восемь вершин которого, представляют собой восемь экспериментальных точек.

Запишем кодированную матрицу планирования 2³ и результаты эксперимента, введя столбец так называемой фиктивной переменной x₀=1.

Приведенная в таблице матрица планирования обладает следующими свойствами:

где k — число независимых факторов; N — число опытов в матрице планирования.

Первое свойство - равенство нулю скалярных произведений всех вектор - столбцов - называется свойством ортогональности матрицы планирования. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (Х*Х) становится диагональной и ее диагональные элементы равны числу опытов в матрице планирования N. Диагональные элементы обратной матрицы (Х*Х)^-1:

С_jj = 1/N

Следовательно, любой коэффициент уравнения регрессии b_jопределяется скалярным произведением столбца у на соответствующий столбец x_j, деленным на число опытов в матрице планирования N:

Пользуясь планом, представленным в таблице, сначала вычислим коэффициенты регрессии линейного уравнения

Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимодействия:

то для определения коэффициентов b₁₂, b₁₃, b₂₃ (эффектов двойного взаимодействия) и b₁₂₃ (эффекта тройного взаимодействия) необходимо расширить матрицу таблицы следующим образом:

Если поставить дополнительно параллельные опыты, можно определить S²_воспр , проверить значимость коэффициентов регрессии и при наличии степеней свободы - адекватность уравнения.

В связи с тем, что корреляционная матрица (Х*Х)^-1 для спланированного эксперимента таблица есть матрица диагональная

коэффициенты уравнения регрессии некоррелированы между собой. Значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента. Исключение из уравнения регрессии незначимого коэффициента не скажется на значениях остальных коэффициентов. При этом выборочные коэффициенты b_j оказываются так называемыми несмешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов β_j.

т. е. величины коэффициентов уравнения регрессии характеризуют вклад каждого фактора в величину у.

Диагональные элементы корреляционной матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты уравнений определяются с одинаковой точностью: