Уравнения гиперболического типа

– заданные функции

F – известная функция

U(x,y) – исходная функция, удовлетворяющая уравнению

для – гиперболическая

D = 0, то параболическая

D < 0, то эллиптическая

Сделаем замену: ,

то уравнение перепишется:

1-ый случай:

Приведение к каноническому виду квазилинейный уравнений 2-ого порядка гиперболического типа.

для любых

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

Если , то решим его как обычное квадратное уравнение относительно отношения

– получим систему 2-х уравнений

Для интегрирования системы составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решения этих 2-х уравнений и будут исходными решениями исходного уравнения.

Последнюю систему можно написать в виде одного уравнения:

Уравнение – характеристическое уравнение исходного квазилинейного уравнения.

И решение его и таковы, что

Если выбрать , то .

Причем и канонический вид гиперболического уравнения будет следующим:

канонический вид уравнения гиперболического типа.

Пример:

Привести к каноническому виду уравнение гиперболического типа:

.

Решение:

Определим тип уравнения => найдем дискриминант этого уравнения:

, если x ≠ 0 и y ≠ 0.

Уравнение является гиперболическим почти во всей плоскости, кроме x = 0 или y = 0 (оси).

Напишем характеристическое уравнение исходного уравнения:

Найдем произведение U_xx и U_yy, участвующие в исходном уравнении через новые переменные:

Подставим найденные производные в исходное уравнение:

канонический вид гиперболического типа.

2-ой случай: Приведение к каноническому виду уравнения параболического типа.

В этом случае дискриминант = 0.

для любой из R².

Единственное решение характеристического уравнения:

, т.е. существует единственная функция такая, что

Поскольку , то

Выбор замены переменных в случае уравнения параболического типа:

В параболическом случае в качестве 1-ой функции замены переменной выбираем функцию , а в качестве 2-ой функции – производную функцию , такую что якобиан замены переменных отличен от нуля, то есть

,

тогда

– аналогично покажем =

Следовательно канонический вид уравнения параболического вида следующий:

канонический вид уравнения параболического типа.

1)

уравнение 6-ого порядка

6 – порядок

3) Найти области гиперболической, эллиптической

Параболичность

D < -1 – внутри эллипса эллиптичность

Снаружи эллипса – гиперболичность

3)

Внутри – эллиптичность

Снаружи – гиперболичность

3)

4)

Нужно раскрыть скобки, привести подобные и получить канонический вид.

21.02.08

Пример параболическая:

Привести к каноническому виду уравнение .

Определим тип уравнения:

– параболический тип уравнения.

Составим якобиан с заменой переменных

, следовательно выбрана замена переменных

Подставим найденные производные в исходное уравнение:

– канонический вид уравнения параболического типа.

Приведение к каноническому виду уравнений эллиптического типа

Случай 3

D < 0

составим уравнение характеристик.

последнее уравнение имеет комплексное аналитическое решение

, где

– действительная часть решения,

– мнимая часть решения.

Замена:

Можно показать, что

Функция является решением уравнения

См. случай 2

Откуда получаем, что

Откуда вытекает (см. случай 1) (выражение для коэффициентов ,

Следовательно, в новых переменных уравнение приобретает вид:

канонический вид уравнения эллиптического типа.

Пример:

.

Решение:

– уравнение эллиптического типа, если x ≠ 0.

Уравнение характеристик

→

1. Гиперболические уравнения

2. Параболические уравнения

3. Эллиптические уравнения