Постановка волновых задач для волнового уравнения

1 задача: «Задача Коми»

Замечание: Волновое уравнение имеет бесконечно много решений. Решение становится единственным как только на искомое решение будут наложены некоторые условия, обуславлив. поведение изучаемого физ. объекта (струна, стержень…) В начальный момент времени, начальное полож., скорость струны (стержня).

Поведение концов струны в зависимости от времени (стержня), сила действующая на концах струны (стержне).

Все эти условия приводят к тому, что решение становится единственным.

Постановка задачи Коми и краевых задач

Задача Коми	1-ая краевая задача	2-ая краевая задача
1. t >0 Однородная задача рассматр. струна бесконечная U(x,0)=f(x) – условие задающее положение струны в начальный момент времени Ut(x,0)=g(x) – скорость струны в начальный момент времени (нет воздействия внешних сил)	1. Однородная 1-ая краевая задача t >0 U(x,0)=f(x) Начальное отклонение Ut(x,0)=g(x) – начальная скорость U(0,t)=μ(t) – закон. движение левого конца струны с течением времени U(l,t)=μ2(t) – закон движения правого конца струны	1. Однородная 2-ая краевая задача t >0 U(x,0)=f(x) Ut(x,0)=g(x) U(0,t)= - сила действия на левый конец струны течением времени вдоль оси ОХ Ux(l,t)= - сила действия на правый конец струны вдоль ОХ
2. Неоднородная задача t >0 U(x,0)=f(x) – нач. положение Ut(x,0)=g(x) есть воздействие внешних сил	2. U(x,0)=f(x) Ut(x,0)=g(x) U(0,t)=U(l,t)=0 - лев. и прав. концы закрепления	2. Неоднородная задача U(x,0)=f(x) Ut(x,0)=g(x) Ux(0,t)=Ux(l,t)=0 - вдоль оси концы не смещ. (однород. краев. услов. 2-ого типа

1,2 – первые краевые условия

Если U(0,t)=U(l,t)=0 – заданы 1-ые краевые условия однородные

3, 4 – краев. условия 2-ого типа для волнового уравнения

3-я задача краевого типа

t >0

U(x,0)=f(x)

U_t(x,0)=g(x)

- заданные числа

Краевые условии 1-ого типа описывают траектории движения левого и правого концов

Краевые условия 2-ого типа описывают силы, воздействующие на левый и правый концы, при этом в 1-ом случае не учитывается воздействие сил на концы, во 2-ом – не учитываются траектории их движения; краевые условия 3-его типа учитывают и то и другое.

Задача Коши для волнового уравнения

1. Приведение одновременного волнового уравнения к канонической форме и его решение

– уравнение гиперболического типа

………

Общим решением полученного уравнения будет являться решение

где

и -любые дифференцируемые произвольные функции.

Заменяя ξ и η на их определение, получаем общее решение волнового уравнения в виде

С физической точки зрения это решение интересно тем, что представляет собой сумму 2-х бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью а.

2. Решение Даламбера одномерного однородного волнового уравнения

- определим функции φ и ψ однозначным образом, исходя из начальных условий

сложим:

вычитаем:

Подставим найденное выражение в общее решение исходного однородного уравнения:

- решение однородной задачи Коши для бесконечной струны (формула Даламбера).

3. Неоднородная задача

Будем искать решение в виде суммы 2-х функций.

1) - решение однородной задачи

2) - решение неоднородной задачи с однородными краевыми условиями

Решение 1-ой задачи – формула Даламбера

2-я задача решение:

Уравнения прямой:

Уравнения прямой:

От обеих частей уравнения

- возьмем интеграл по области R

по формуле Грина (Стокса)

На

Подставляем в исходное уравнение

разделим на 2а:

Следовательно, искомое решение неоднородного уравнения имеет вид: Римана – Вольтера

№8 Пример: Решить задачу Коши

a = 1