Задача Коши для трехмерного волнового уравнения.

Называется задача нахождения функции , удовлетворяющая уравнению

, где

– начальное распределенное электромагнитное поле в заданной среде

– начальная скорость изменения электромагнитного поля в заданной среде.

Решение этой задачи существует и единственно и выражается формулой Кирхгофа:

,

где:

S_at – сфера радиуса at с центром в точке (x,y,z),

S_a(t-τ) – сфера радиуса a(t-τ)с центром в точке (x,y,z).

Пример:

Решение не правильное

все слагаемые, которые содержат sin φ и cos φ интеграл будут равны нулю.

Пример:

Решение краевых задач для одномерного волнового уравнения методом разделения переменных (Фурье)

Эта задача интерпретировать малые поперечные колебания струны без воздействия внешних сил (свободные колебания), струна имеет конечную длину 0 ≤ x ≤ l, в каждой точке этой струны задано начальное ее отклонение равновесного положения и начальная скорость. Будем пока считать, что концы струны жестко закреплены, что соответствует краевому условию

Будем искать решение поставленной задачи

, тогда

и

поставим эти уравнения в начальное уравнение.

для того, чтобы проинтегрировать раздел. переменные

поскольку последнее равенство выполнено для любых значений Х и Т, то найдется такое число К, что

из краевых условий =>

=>

Следовательно, для нахождения функций Х(х) и Т(t) получаем две задачи

1-ый случай: К > 0, тогда

, где С₁, С₂, С₃, С₄ – произвольные постоянные.

Система однородная, определитель ≠ 0.

Полученная система на С₃ и С₄ будет иметь отличное от нуля решение только в том случае, если определитель = 0.

К = 0, что противоречит, что К = 0.

2-ой случай: К = 0

=>

3-ий случай: К < 0

Положим

– собственные значения поставленной задачи штурма – Муввиля, каждая из которых:

Пользуясь принципом суперпозиции решения однородных задач, получаем, что общее решение будет иметь вид:

Для определенных коэффициентов A_n и B_n воспользуемся начальными условиями

– ряд Фурье.

Функция f(x) по синусам, а A_n – коэффициент ряда Фурье по функциям f(x).

– это разложение функции g(x) в ряд Фурье.

Пример: Тугонатянутая гибкая струна. Книга Троицкой, стр. 23, задача 4

«Смешанная задача для волнового уравнения в прямоугольнике»

, где S – граница области, в которой ищется решение.

Пусть теперь мембрана имеет вид прямоугольника.

воздействие внешних сил не учитываем

Применим метод разделения переменных

Подставим эти выражения для производных в исходное уравнение:

разделим это равенство на

получим:

Причем последнее равенство выполнено для любых точек x, y, t => существует постоянное число λ, такое что

Причем, последнее равенство выполнено при любых x и y => найдутся числа λ₁ и λ₂ такие что:

λ = λ₁ + λ₂ и

, а

Из граничных условий:

для любых точек x и t =>

Y(0) = 0

для любых точек y и t =>

X(l) = 0

для любой точки y, t =>

X(0) = 0

для любой точки x, t =>

Y(m) = 0

Следовательно, получаем две задачи Штурма – Люнвина для нахождения функций X(x) и Y(y).

Задачи:

1. Пусть λ1 > 0, тогда C1 = C2, т.к. λ1 > 0 быть не может	1. Аналогично левому столбику, можно показать, что λ2 > 0 быть не может
2. λ1 = 0 X(x) = ax + b b = 0 a = 0 λ1 ≠ 0 решение тривиальное	2. Аналогично λ2 ≠ 0
3. λ1 < 0 Характеристическое уравнение С1 = 0 – бесконечно много собственных значений задачи Штурмана – Люнвина	λ2 < 0 Характеристическое уравнение С3 = 0 – бесконечно много собственных значений

Каждое из найденных собственных значений порождает собственную функцию

Следовательно:

Найдем T(t)

Характеристическое уравнение:

– бесконечное число собственных функций задачи Штурмана – Люнвина, на нахождение функции T(t), тогда общее решение исходной задачи будем искать в виде:

где A_nk и B_nk – определяются, исходя из начальных условий

Не трудно показать, что система функций

– ортогональная система функций на прямоуг

B_nk – коэффициент Фурье, разложения функции f(x,y) в ряд Фурье по этой системе =>

Воспользуемся заданной начальной скоростью для нахождения коэффициента A_nk.

откуда получаем, аналогично предыдущему, что

– коэффициент Фурье разложения функции g(x,y) в ряд Фурье по системе функций

22 вариант (14)

U(t,x,y,z) – температура в точке в момент времени t.

Воспользуемся законом Фурье для плотности потока тепла W в направлении нормали в единицу времени.

, где – производная функции температуры U(t,x,y,z) вдоль нормали , k – коэффициент теплообмена.

k – может быть функцией температуры, точки, времени, т.е. .

Рассмотрим часть тела V ограниченную поверхностью S.

Напишем уравнение баланса тепла в объеме D за малое время Δt.

– где М – точка объема D – функция плотности тепла от внешних источников, тогда Q₁ – количество тепла от внешних источников.

– количество тепла, пришедшее в объем D за счет внешних источников за время Δt.

– расход тепла за счет выходящего из D потока.

– изменение количества тепла в области D за время Δt, где

С(x,y,z) – теплоемкость тела (вещества) в точке x,y,z;

ρ(x,y,z) – плотность вещества;

U_t(x,y,z,t) – изменение температуры.

Уравнение баланса тепла по закону сохранения энергии имеет вид:

Q₃ = Q₁ – Q₂

или в интегральной форме

(*)

U(x,y,z)

где

Поток векторного поля через поверхность S:

– теорема Остроградского – Гаусса.

Применим теорему Остроградского – Гаусса к последнему интегралу (*).

,

тогда уравнение теплового баланса приобретает вид:

Последнее равенство выполнено для любой области D, целиком лежащей в объеме V; в виду произвольности области D, получаем уравнение теплопроводности:

уравнение теплопроводности, уравнение распространения тепла в объеме V.

ρ, C, k – функции от М(x,y,z) и времени t;

k – коэффициент теплообмена (Фурье).

Интересный случай, когда среда однородная, т.е. ρ, C, k – постоянные и не зависят ни от положения точки, ни от времени, тело – однородно и его характеристики с течением времени не меняются, тогда

, обозначим – получим =>

уравнение теплопроводности для однородного тела.

– однородное уравнение теплопроводности.

– волновое уравнение.

Уравнения теплопроводности принадлежат к классу уравнений параболического типа.

Доказательство:

Совершенно аналогично выводится уравнение диффузии.

Воспользуемся законом Нернста для потока вещества W в направлении .

U(M,t) – концентрация диффундированного вещества в точке М объема V в момент времени t.

, где

D – коэффициент диффузии.

f(M,t) – количество вещества, попадающего в точку М от внешних источников.

- диффунд. из тела, выходящий поток в-ва

где

d – коэффициент пористости среды, в котором происходит диффузия

Аналогично пред. можно показать, что из уравнения:

Уравнение диффузии, отлич. от уравнения теплопроводн. только тем, что коэффициенты D и d имеют другой физический смысл, если считать, что среда однородная, то уравнение приобретет вид

, обозначим

Функция конечного вещества

Уравнение диффуз и распространенного тепла в некотором объеме одинаковы.

В 1-ом случае:

U(M,t) – конц. вещества в V

2-ом U(M,t) - темпер.

Уравнение теплопроводн. имеет множество решений, чтобы было единственным нужно задать начальные и краевые условия

Начальные и краевые условия для уравнения теплопроводности

U_t=a₂(U_xx+U_yy+U_zz)+f(x,y,z,t)

Начальные условия:

U(x,y,z,0) = f(x,y,z) – нач. температ. (нач. концентр. некот. в-ва, заданные в каждой точке некоторого объема V.

Краевые условия: 1-ого типа

- температура, поддерживаемая на границе объема V и меняющаяся с течением времени по закону

- подерж. температ. 0

2 тип:

- на границе объема V задан некий закон, по которому происходит теплообмен с течением времени

- теплообмена нет (поверхность теплоизолирована)

(вещество не диффунд., через поверхность объема V)

3 тип:

- некотор. числа

Одновремен. учитыв и изменен потока и температура на краю (границе)

1-ый и 2-ой тип – частные случаи 3-его типа

1. Боковая поверхность стержня теплоизолирована

Начальная температура = φ(x)

U(x,t) – температура в стержне при t >0, для случаев когда концы стержня теплоизолированы.

2. В трубке длины l сечения S однор. пористая, - начальная концентрация.

t >0 – боковая поверхность трубки не проницаемая на конце x=l с момента t=0, поддерж. конц. газа ;

х=0 – газонепроницаем.

U(x,t) – конц. диффуз. вещества в т. Х в момент времени t

Задачи Коми для уравнения теплопроодности

Рассмотрим однородные уравнения теплопроводности.

При отсутствии внешних источников тепла. Поставим задачу Коми:

Найти функцию U(x,t) удовлетворяющую уравнению:

Физический смысл задачи – определение температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени по известн. температуре в начальный момент времени t=0.

Считается, что токов. поверхность стержня теплоизолирована (тепло из стержня не уходит)

Предположим теперь, что функции U(x,t) и достаточно гладкие функции, убывающие при

Настолько быстро, что существ. преобразов. Фурье

преобразование Фурье функции по перемен. Х.

2. Законны операции дифферен.

и

Следовательно, получаем, что преобразов. Фурье второй производной функции связано с преобразованием Фурье самой функции следующ. равенством

Применим преобразов. Фурье к исходному уравнению и нач. услов. сведя пост. задачу к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

От первого уравнения осталось уравнение:

-

Полученная задача, является задачей Коми для обыкновенного дифференц. уравнения.

Решением этой задачи является функция

(что проверяется простой подстановкой)

Покажем, что функция

является преобразованием Фурье

Т.е. явл. преобразов. Фурье от функции:

Док-во: считаем

Мы доказали, что функция

и наше решение

Решение можно записать в виде:

Как известно произведение двух преобразований Фурье = свертке преобраз. функций равна преобраз. Фурье от свертки преобразуемых функций

т.е. где f₁ свернутая с f₂

Тогда

Получено решение исходной задачи Коши и назыв. формула Пуассона для решения задачи Коши уравнения теплопроводности.

Осталось проверить, что заданное уравнение удовлетворяет начальному условию, т.е.

При находим, что

ч.т.д.

Найденное решение удовлетворяет условию:

Пример:

,

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности ( - функция Дирана)

Функция

Входящая в формулу Пуассона назыв. фундаментал. решение уравнений теплопроводности.

Рассматривая как функция аргументов x,t она удовлетворяет уравнению теплопроводности

в чем можно убедится проверкой.

Фундаментальное решение имеет важный физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Допустим в начальный момент времени начальное распределение температуры имеет вид:

Чем меньше тем выше полочка

Тогда в силу формулы Пуассона распределен. температуры в стержне имеет вид:

по теореме о среднем найдется такая точка

, где устремим , тогда из последнего равенства получим

- это означает, что функция представляет распределенную температуру в стержне в момент , если начальный момент времени в точке х₀ имеется бесконечный пик температур, а в остальных точках стержня температура равна была 0. Такое начальное распределение температур может быть приближ. реализовано следующим образом:

В момент к точке х₀ стержня на очень короткий промежуток времени подносится узкое пламя очень высокой температуры (тепловой импульс) – это начальное распределение температур описыв. Формулой Дирана и обозначается . Не явл. функцией в обычном смысле функция определена формально при помощи соотношений

1.

2. для любого интервала , содерж. точку х₀

3.

Таким образом фундамент. решение явл. решением уравнения стержня при начальном распределение температур

Д/з стр. 31