Оператор Лапласа в полярных координатах

анологично:

и

И подставим их в оператор Лапласа и получим его в полярных координатах:

В цилиндрических координатах:

В сферических координатах

Ясно что эти представл. оператором Лапласса для упрощения решения и постановки задачи в некоторых специальных областях.

Полярные – круговые области

Цилиндрические – цилиндрические области

Сферические – сферические области

Кроме уравнений Лапласа и Пуассона к электрическим относятся еще целый класс других уравнений.

Уравнение Гельмгольца – называется уравнение вида:

, где - заданное постоянное число.

Уравнение Гельмгольца является важным видом электрических уравнений этого порядка.

Оно естественно возникает в многомерном случае в методе разделения переменных для гиперболических и параболических задач.

Нахождение собственных функций и значений сводится к разрешим. соотв. краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

Решаем внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в круге.

- постоянное число.

Собственные значения и функции определяются как решение уже хорошо известной нам задачи.

, а

Решением этой задачи является соотв. собств. функции

Поскольку

Уравнение для определения функции

Заменим , тогда

- уравнение Бесселя порядка n.

Общее решение уравнения Бесселя можно записать в виде:

, где

J_n(x) – функция Бесселя первого рода n-го порядка,

Y _n(x) – функция Бесселя второго рода n-го порядка,

С₁ и С₂ – произвольная постоянная.

Тогда собственными функциями уравнения

будут функции

, но стремится к ∞, если r → 0, но нас интересуют только ограниченные решения, поэтому полагаем

– собственная функция.

Окончательно.

Общее решение поставленной задачи можно представить в виде ряда.

Постоянные A_n и B_n находим из граничного условия

, n = 0, 1, 2, ......

, B_n = 0 (n ≠ 3)

Пример. Задача №20 (вариант 15)

Решение:

Вариант №4.