Метод Фурье для решения уравнений теплопроводности

Найти функцию удовлетвор. уравнению

Физически нужно найти распределение температур в стержне длины l, в начальный момент времени , а на концах нулевая температура

, тогда

Получены вместо уравнения теплопроодности, два обыкновенных дифференциальных уравнения;

Чтобы получить нетривиальное решение удовлетворяющее однородным граничным условиям, необходима найти нетривиальные решения уравнения:

, удовлетворяющее граничным условиям

Так же как и при решении однородной краевой задачи для волнового уравнения можно показать, что для

Существует нетривиальное решение n=1,2,3

Постал. задачи Штурман-?

Для решения Т получаем:

Тогда функции - собственные функции исходной краевой задачи соответствующее собственным значениям

и является соответственным решением исходной краевой задачи; образуем формальный ряд:

, потребовав, чтобы удовлетвор. начальным условиям

- коэффициент разложения функции в ряд Фурье по sin на интервале от 0 до n.

Общее решение

Предположим, что дважды непрерывно дифферен. на функции

, тогда ряд общего решения будет сходится и функции абсолютно и равномерно, поскольку:

Поэтому сумма этого ряда будет непрерывной в области , и удовлетворяет в этой области начальным и граничным условиям.

Рассмотрим общую краевую задачу

Для того чтобы решить эту задачу будем искать решение в виде:

, где

Тогда функция будет являться решением следующей краевой задачи:

- новое начальное условие для функции

Таким образом функция удовлетворяет уравнение:

или

Следовательно, исходная задача упростилась и свелась к нахождению функции

Из следующей краевой задачи

Разобьем ее на 2-е задачи:

Тогда функция

Решаем задачу нахождения функции , будем искать решение в виде:

Разложим функцию в ряд Фурье по sin на получим:

, где

Подставив полученные представления:

Приравняв соответствующий коэффициент при одинаковых sin, получим бесконечное число уравнений

Решение такой задачи, как было показано при решении волновой смешанной задачи, можно представить в виде свертки следующей функции

подставляем найденное решение в представлении для функции .

Найдем

решение 2-ой задачи.

Решение задачи для

, где

Примеры зад. №18

n = 1 – 60

PLOT 3D[

Пример задачи №19

Во всех задачах начальные условия не изменяются.

Исходная задача упростилась и свелась к нахождению функции из следующей краевой задачи

Чтобы решить задачу, разобьем ее на две.

=>

Решим задачу нахождения функции в виде:

разложим функцию в ряд Фурье по sin на интервале (0,l)

, где

подставим полученные представления:

Приравняв

или

Решение такой задачи, как было показано выше при решении смешанной волновой задачи, можно представить в виде свертки следующей функции.

подставляя найденное решение в представлении для функции , найдем, что

Общее решение.

А решение задачи для нахождения θ было получено ранее и имеет вид.

, где

Задача №17: из книги стр. 30 (зад. 5)

Задача №18: в №17 добавить условия.

Пример: (вариант 2)

Plot 3D

Задача №19 (вариант 2) Пример:

Во всех задачах начальные условия не изменяются.