Уравнение полных поперечных колебаний струны

Струна – упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но оказывающая сопротивление растяжению, т.е. напряжение, возникающее в струне, всегда направлено по касательной к ее ???новенному профилю. Будем считать, что струна расположена вдоль оси ОХ. Движение струны происходит только в одной плоскости, в этой плоскости каждая точка струны движется в направлении, перпендикулярном оси ОХ. Функция смещения струны U(x,t) – величина отклонения точки струны с координатой x в момент времени t, угловые коэффициенты касательной к линии прогиба достаточно малы, т.е. струна совершает малые колебания.

– малые

U(x,t) – функция положения струны

Построим дифференциальное уравнение, которому будет удовлетворять функция U(x,t).

В момент времени t длина струны: длина струны не меняется со временем (струна не растяжима) => по закону Гука величина силы натяжения струны не меняется со временем, т.е.

Т = Т(х) – сила натяжения струны зависит только от х.

На струну могут действовать внешние силы, обозначим f(x,t) – плотность равнодействующих внешних сил, действующих на струну в направлении оси OU.

Общее количество движения.

– количество движений струны или работа, которую совершает струна в данный момент времени (на отрезке [x₁, x₂]) → 1)

– точечная плотность струны

1) Под воздействием силы натяжения и внешних сил

– уравнение малых поперечных колебаний струны в интегральной форме, т.к. функция U(x,t) дважды непрерывно дифференцируема.

Т(х) – непрерывно дифференцируема.

По теории Лагранжа о конечных приращениях:

где 0 < (θ и θ₁) < 1.

Воспользуемся теоремой о среднем значении для интеграла Римана

Разделим обе части равенства на и устремим t₂ → t₁, x₂ → x₁.

уравнение малых колебаний поперечной струны

– точечная плотность струны

– сила натяжения струны в т. х

В случае, когда ,

, обозначим

уравнение малых поперечных колебаний струны.

Очевидно, что уравнение является квазилинейным

– уравнение гиперболического типа и называется – одномерное волновое уравнение.