Алгебраический метод определения симметричных колебаний
Пусть нелинейная система, изображенная на рис. 2.2, имеет и передаточную функцию линейной части
. Полагаем, что выполняется гипотеза фильтра, т.е. АЧХ является фильтром низких частот, а нелинейность нечетно-симметричной, т.е.
. В этом случае имеем следующую модель системы:
,
,
.
Уравнение замкнутой системы будет
. (2.57)
Полагаем, что нелинейное уравнение (2.57) имеет решение , где
,
следует определить. После гармонической линеаризации
,
так что с учетом этого уравнение (2.57) будет
. (2.58)
Уравнение (2.58) является гармонически линеаризованным уравнением замкнутой системы. Это линейное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого зависят от двух постоянных и
− параметров искомого гармонического режима
, оно справедливо только для решений подобно типа.
Характеристическое уравнение замкнутой системы будет
. (2.59)
Линейное дифференциальное уравнение имеет гармоническое решение вида только в том случае, если его характеристическое уравнение содержит пару чисто мнимых корней
, т.е. подставляя в (2.59)
, получим условие существования гармонического решения
. (2.60)
Выделяя в (2.60) действительную и мнимую
части, и приравнивая их к нулю, получим условия существования периодического решения
,
. (2.61)
Уравнения (2.61) представляют собой систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными ,
и могут не иметь решения − периодический режим вида
не существует, иметь единственное решение, что соответствует существованию единственного периодического решения с амплитудой
и частотой
, и, наконец, иметь несколько решений (возможно бесчисленное множество).
Полагая периодический режим с найденными амплитудой и частотой
существующим, рассмотрим вопрос об устойчивости этого режима. Предполагается приближенный способ оценки устойчивости периодического режима. Найдем для функций
и
частные производные по
и
,
,
,
.
В полученных выражениях положим ,
, тогда получим
,
,
,
.
Периодический режим с параметрами ,
будет устойчивым, если выполняется неравенство
(2.62)
при условии, что для коэффициентов многочлена
(2.63)
выполняется условие критерия Гурвица [7].
Если найденный периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания гармонической формы с параметрами ,
. если неустойчив, то автоколебаний нет, хотя периодический режим существует.
Предложенный подход можно применить и для анализа несимметричных колебаний. При этом вместо системы двух уравнений (2.61) получим систему из трех уравнений для определения параметров ,
,
.
Пример 2.4. Пусть в нелинейной САУ рис. 2.2 нелинейный элемент − идеальное реле с характеристикой , а передаточная функция линейной части имеет вид
.
Для нелинейного элемента имеем , а
(2.55). Уравнение (2.60) имеет вид
,
из которого получаем уравнения (2.61)
,
.
Решая полученные уравнения, найдем амплитуду и частоту периодического режима:
,
.
Нетрудно проверить, что для найденных ,
, условия (2.62), (2.63) выполняются, т.е. в системе возникают автоколебания и
.
Дата добавления: 2015-02-07; просмотров: 2025;