Волновое уравнение

Когда мы рассматриваем процессы, связанные с распространением света в волокне, по соображениям удобства или наглядности мы иногда применяем лучевую теорию, считая свет потоком частиц, а иногда рассматриваем волновую природу света. Односторонний подход приводит к ошибочным результатам, поскольку свет имеет дуалистическую природу, обладая как свойствами волны, так и частицы. Распространение электромагнитных волн в волокне подчиняется уравнениям Максвелла, которые в данном случае имеют вид:

rot H = ε (5.1) и rot E = - μ (5.2).

Если волна гармоническая, то есть E = E_m e^jωt и H = H_m e^jωt, то уравнения принимают вид

rot H = jωεE (5.3) и rot E = - jωμH (5.4).

Применим ещё раз операцию взятия ротора от левой и правой части уравнения (5.4). Получим

rot rot E = -jωμ rot H. (5.5).

Из векторного анализа известно, что

rot rot E = grad div E - ²E.

В оптическом волокне div E = 0, поэтому rot rot E = - ²E. Подставляя в правую часть (5.5) значение rot Н из (5.3), получаем

- ²E = jωμ·jωεE или ²E – ω² μεE = 0. (5.5).

Оператор представляет собой сумму вторых производных по направлениям осей координат, например для декартовых координат это

= , для цилиндрических координат = .

Таким образом, уравнение (5.5) приобретает вид:

- k²E = 0 (5.6).

Это цилиндрическое (Бесселево) уравнение. Его решение

E_z = (5.7).

В выражении (5.7):

- постоянная, определяемая граничными условиями;

- функция Бесселя n -го порядка;

аргументами являются произведения g_m r , β _nz и nφ, где

g_m - постоянная поперечного распространения;

β_n - постоянная продольного распространения;

n и m – числа натурального ряда.

При этом

g₁² = k₁² – β² - постоянная поперечного распространения для сердечника, (5.9);

g₂² = β² – k₂² - постоянная поперечного распространения для оболочки, (5.10);

(5.11).

В выражении (5.11) :

; μ₀ и ε₀ - магнитная и диэлектрическая проницаемости вакуума; μ_r и ε_r - относительные магнитная и диэлектрические проницаемости сердцевины и оболочки;

- скорость света;

коэффициент преломления сердцевины , оболочки ;

; .

На рис.5.1 показаны Бесселевы функции нулевого и первого порядка (они похожи на затухающие косинусоиду и синусоиду). Аналогично выглядят и функции более высокого порядка. Пересечения этих кривых с осью аргументов x = g_m r определяют значения корней, обращающих функции J_n в 0, и являющиеся решениями уравнения. Как видим решений бесконечно много, но они расположены не непрерывно, а дискретно, то есть не каждая волна или не каждый луч, даже если он в пределах апертурного угла, может распространяться по световоду.

Рис.5.1. Вид Бесселевых функций

Каков смысл величин индексов n и m? Как мы уже отмечали раньше, в волокне распространяются только такие моды, у которых по диаметру волокна помещается целое число полуволн. Таким образом m - это число полуволн по окружности волокна, а n - число полуволн по диаметру. В таблице 5.1 приведены величины корней gr для некоторых значений m и n. Эти значения иногда называют нормированной частотой ν.

Таблица 5.1. Таблица значений нормированной частоты ν для некоторых m и n .

При произвольном значении индексов в волокне возможно существование множества волн. Например, положим m = 3 , а n = 2. При распаде волны Н₂₃ может возникнуть 13 мод!

Если возьмём значения m =1 и n = 0 -1, то из таблицы 5.1 видно, что при p = gr от 0 до 2.405 может существовать только одна мода Е₀₁.

При распространении произвольной волны по сердцевине и оболочке волокна имеет место соотношение

g₁² + g₂² = k₁² – β² + β² – k₂² = k₁²– k₂² = k₀² (n₁² – n₂² ) (5.12).

Если имеет место полное внутреннee отражение, то g₂ = 0, и свет распространяется только по сердцевине, и тогда

(5.13).

Из (5.13) получаем для частоты f₁ (домножив числитель и знаменатель на величину радиуса сердцевины r = a) выражение:

, или (5.14).

Таким образом для каждого решения p_mn= ga существует своя мода, своя критическая частота, или, соответствующая ей длина волны

(5.15), где - апертура волокна.

Если p_nm = ν = 2.405, то из (5.15) получаем условие одномодовости:

(5.16).

В типичном случае λ = 1.55 мкм, NA = 0.14 и диаметр одномодового волокна равен 6-10 мкм.

С увеличением диаметра число мод N в волокне резко возрастает:

- для ступенчатого волокна, (5.17);

- для градиентного волокна, (5.18).

Волновое сопротивление оптического волокна заключено в пределах

, где Ом – волновое сопротивление вакуума.

Ход волнового сопротивления волокна показан на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Изменение волнового сопротивления для некоторых мод в зависимости от частоты