Пример 3.3.

Определить, является ли устойчивой динамическая система с характеристическим многочленом

Рис. 3.11

Прохождение годографа в устойчивой системе.

D(l)= 0,414*10^-6l⁵+ 0,388*10^-3l⁴+ 3,47*10^-2l³+ 1,83l²+ 58l+ 380.

Заменим l на jw

D(jw)= U(w)+ jV(w)= [0,388*10^-3w⁴- 1,83w²+ 380]+ j[0,414*10^-6w⁵-

-3,47*10^-2w³+ 58w].

Подставляя разные значения w в D(jw), построим на комплексной плоскости годограф (рис. 3.11). Видно, что система устойчива.

Критерий Гурвица

Для суждения об устойчивости решений системы дифференциальных уравнений или дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами необходимо знать характер расположения корней характеристического уравнения. Это можно определить, не решая самого уравнения, с помощью критерия, предложенного Раусом Э и Гурвицем А. В технике его часто называют критерием Гурвица.

Формулируется он следующим образом.

Пусть имеется характеристический полином

P(l) = a₀ lⁿ+ a₁l^n-1+ . .. +a_n (n³ 1). (3-65)

Положим, что a_i - действительные числа, причем а₀>0.

Образуем матрицу, матрицу Гурвица,

a₁ a₀ . . . . . 0

a₃ a₂ a₁ . . . 0

M= a₅ a₄ a₃ . . . 0 (3-66)

. . . . . . . .

0 0 0 . . . a_n ,

где по главной диагонали откладываются коэффициенты а₁, а₂ ….а_n.

Главные диагональные миноры этой матрицы

D₁= а₁;

D₂= а₁ а₀

а₃ а₂ = а₁а₂- а₀а₃;

а₁ а₀ 0

D₃= а₃ а₂ а₁ = а₁а₂ а₃ - а₀ а₁а²₃= а₃(а₁а₂ -а₀а₃).

0 0 а₃

. . . . . . . . . .

D_n= a_n D_n-1.

Тогда решение системы однородных дифференциальных уравнений или однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будет устойчивым, если все главные диагональные миноры матрицы Гурвица D_k> 0 (k=1,2… …n).

Очевидно, при неустойчивой однородной системе или неоднородном уравнении будут неустойчивы и неоднородная система или дифференциальное уравнение.

Используются и другие критерии устойчивости.

На базе изложенных методов, подробно описанных в литературе по теории автоматического регулирования, достаточно легко исследовать динамику разных систем: линейых многосвязных, нелинейных и т.д.