Геометрические характеристики плоских сечений.

Из вышеизложенного следует, что нормальные и касательные напряжения, деформации зависят от геометрических характеристик сечений деформируемых деталей.

Площадь сечения.

Зависит от формы:

круг- s= p R²= pD²/4;

кольцо- s= p(R²- r²)= pD²(1- k²), k= d/D;

прямоугольник s= bh;

треугольник s= 0,5bh,

где D, R,d, r, h- соответственно, наружные диаметр и радиус, внутренние диаметр и радиус, сторона и высота.

Статические моменты сечения.

Статический момент относительно оси z

S_z= ydA.

Статический момент относительно оси y

S_y= zdA.

При параллельном переносе осей будет y₁= y- b, а z₁= z- a.

Тогда

S_z1= y₁ dA= ( y- b )dA= S_z- bA;

S_y1= z₁ dA= ( z- a )dA= S_y- aA. (2-113)

Здесь А- площадь сечения.

Среди семейства параллельных осей z, y можно найти оси, относительно которых статический момент S_z1 или S_y1 будет равен нулю. Такую ось называют центральной, а точку их пересечения - центром тяжести сечения.

Если начало координат будет в точке C- центре тяжести, то ее координаты можно определить следующим образом

z_C= a= A^-1 z dA= S_y /A; y_C= b= A^-1 y dA= S_z /A. (2-114)

Пример 2.3:

1.Прямоугольник. Найти на каком расстоянии от основания b находится центр тяжести.

dA= bdz

S_y= z dA= zbdz= bz²/2½ = bh²/2.

z_C= S_y/A= (bh²/2)/(bh)= h/2.

Выполнив такие же операции относительно оси y, получим, что абсцисса центра тяжести равна

y_C= b/2.

2. Треугольник неравнобочный (Рис. 2.23). Основание b лежит на оси ОХ₁. На каком расстоянии от основания находится центр тяжести.

Рис.2.23.

Определение центра тяжести

треугольника.

S_х1= y₁ dA.

dA= cdy₁.

Из подобия треугольников находим c=b(h- y₁)/h, где h - высота.

Таким образом,

S_x1= y₁ dA= y₁[ b(h-y₁)/h]dy₁ = bh^-1 (h-y₁)y₁dy₁= bh²/6. (2-115)

Отсюда

y_С= S_x1/A= (bh²/6)/(bh/2)= h/3. (2-116)

Моменты инерции сечения.

Из предыдущего изложения следует, что существуют осевые, полярные моменты инерции. Кроме того, рассматриваются центробежные моменты инерции.

Осевой момент инерции относительно оси z

J_z= y² dA.

Осевой момент инерции относительно оси y

J_y= z² dA.

Полярный момент инерции относительно полюса O, размещенного в начале координат

J_р= r² dA= (z²+ y²) dA= J_y+ J_z. (2-117)

Центробежный момент инерции относительно осей z, y

J_zy= J_yz = yz dA. (2-118)

Центробежный момент инерции может иметь разные знаки (+), (-).

Значения моментов инерции зависят от положения сечения в осях координат.

Доказано, что при параллельном перемещении осей координат z₁Oy₁ в положение zOy моменты инерции сечений будут

J_z= J_z1+ 2aS_z1+ a²A; J_y= J_y1+ 2bS_y1+ b²A; J_zy= J_z1y1+ aS_y1+ bS_z1+ abA.

Если оси O₁z₁ и O₁y₁ являются центральными, то статические моменты равны нулю, последние соотношения примут вид

J_z= J_z1+ a²A; J_y= J_y1+ b²A; J_zy= J_z1y1+ abA. (2-119)

Для полярного момента инерции при параллельном переносе осей из центра тяжести в произвольную точку

J_p= J_z+ J_y= J_p1+ (a²+ b²)A. (2-120)

Момент инерции сложного сечения находят как сумму моментов инерции составных частей этого сечения.

В случае поворота сечения на угол a получим новые оси

u= z cosa + y sina; u= y cosa- z sina.

Тогда

J_u= u² dA.= J_zcos²a - J_zy sin (2a) + J_ysin²a;

J_u= u² dA.= J_zsin²a + J_zy sin (2a) + J_ycos²a;

J_uu= J_zy cos(2a)+ 0,5(J_z- J_y)sin (2a). (2-121)

Из первых 2-х выражений следует J_u+ J_u= J_z+ J_y= const.

Из d J_u / da получим

d J_u / da= 2J_z cosa sina+ 2J_zycos(2a)- 2J_ysina cosa =0

tg(2a)= 2J_zy/(J_y- J_z). (2-122)

Следовательно, если a= a₀, т.е. при отсутствии поворота J_zy= 0.

Оси, относительно которых J_zy= 0, а осевые моменты имеют экстремальные значения, называют главными осями. Оси симметрии всегда главные. Если же главные оси проходят через центр тяжести, то их называют главными центральными осями, а соответствующие им осевые моменты инерции называются главными центральными моментами инерции.

J_max/min= 0,5(J_y+ J_z) ± [0,25(J_y- J_z)²+ J²_yz]^1/2. (2-123)

Пример 2.4:

3. Определить относительно центральной оси Oz момент инерции прямоугольника высотой h, шириной основания b (рис.2.24,а) .

J_z= y² dA.= b y²dy= bh³/12. (2-124)

4. Определить момент инерции прямоугольника относительно оси О₁z₁, проходящей через основание (Здесь dA= bdy₁).

J_z1= b y²₁dy₁ = bh³/3. (2-125)

5. Определить центробежный момент инерции сечения прямоугольника относительно осей О₁y₁O₁z₁ (рис.2.24,а)

а) б)

Рис. 2.24 Определение моментов инерции сечений.

Здесь смещения относительно осей YOZ будут, соответственно, –b/2; -h/2. Тогда

J_y1z1= J_yz+ (b/2(h/2)bh= 0+ b²h²/4= b²h²/4. (2-126)

6. Определить момент инерции круга диаметром d относительно оси Оz

Сначала определим полярный момент инерции Здесь dA= 2prdr

J_p= r² dA= 2p r³dr= pd⁴/32= pr⁴/2. (2-127)

Так как J_p= J_z + J_y, то

J_y= pd⁴/64= pr⁴/4. (2-128)

7. Определить центральные и главные моменты инерции уголка равнобокого при a= 4 мм, b= 20 мм, расстояние от основания до центральной оси z составляет c= 6,4 мм (рис.2.24,б).

Так как уголок равнобокий, то J_z= J_y. Условно далее разделим сечение на 2 прямоугольника с центрами тяжести О₁ и О₂.

Центральные моменты инерции уголка

J_z= J_z(1)+ J_z(2); J_zy= J_zy(1)+ J_zy(2).

Учитывая J_z= J_y и выражение (2-122), получим, что tg(2a)= ¥.

Это означает, что угол наклона главных осей составляет a= 45°

При этом главные центральные моменты инерции составляют

J_u= J_zcos²45°- J_zysin90°+ J_ysin²45°= J_z- J_zy.

Схема вычислений главных моментов инерции приведена в таблице 2.2.

При этом центробежные моменты инерции частей сечения относительно собственных центральных осей равны нулю.

По формуле (2-121) находим главные центральные моменты инерции (a₀= 45°):

J_u= 5028,8- (-2844)=7872,8 мм⁴.

J_u= J_z+ J_zy= 5028+(-2844)=2184 мм⁴.

Таблица 2.2