Взаимодействие тел в эфирном пространстве обусловливает им равное и противоположное противодействие. 4 страница

В материальном мире гомотетия есть постоянное преобразование (самопульсация) всех элементов одной системы. Самопульсация обусловливает орбитальную гомотетию тела и возвратно-поступательное движение по оси, соединяющей его центр с центром плотностного тела. Траекторию движения определяет как самопульсация, так и вынужденная пульсация (реакция деформации на волны пульсации других тел, планет, Солнца, центра Галактики и т.д.). А поскольку небесные тела движутся по орбитам геометрической формы, то данное возвратно - поступательное движение сопровождается образованием волнообразном отображением траектории их полета [2].

Динамическая геометрия описывает реальные физические процессы и явление силовой «гомотетии» может наблюдаться, например, и в деформации планет Солнечной системе. Поскольку планеты движутся не строго по круговым траекториям, а по эллиптическим орбитам, то в афелии и перигелии этих орбит планеты должны иметь различную величину своего радиуса. Так расчетный радиус Земли в афелии превышает, как будет показано далее, радиус в перигелии более чем на 400 км. Однако ни люди не ощущают, ни приборы не фиксируют столь значительные колебания размеров земного шара потому, что происходит тождественное сжатие или расширение всех молекул и атомов, образующих планету Земля. И эта тождественная деформация молекул изменяет показания всех приборов пропорционально общей деформации, нейтрализуя возможность их различения (именно так, как это происходит у Пуанкаре при описании температурных изменений). А еще потому, что современные ученые даже не предполагают и потому не верят в возможность столь значительной деформации планет. А раз не предполагают, то и не наблюдают, более того, когда наблюдают, не верят глазам своим, игнорируя даже результаты астрономических наблюдений. Похоже, что именно это обстоятельство отражено в последовательном определении размеров планеты Меркурий.

Меркурий наиболее близкая к Солнцу планета Солнечной системы имеет очень большой эксцентриситет своей орбиты. Поэтому разница в размерах планеты, находящейся в афелии и в перигелии, будет превышать тысячу км, около четверти его диаметра. Естественно, что не засечь такую разницу ну просто невозможно, разве что если уж очень постараться. И тут на «помощь» астрономам приходит природа. Расположение Меркурия вблизи Солнца очень неудобно для наблюдения, да и максимальное время наблюдения составляет менее двух часов. К тому же в лучах либо восходящего, либо заходящего Солнца. Немало и других неблагоприятных факторов. Вот и получается, что лучше всего наблюдать планету в период ее нахождения в афелии, то есть в наибольшем удалении от Солнца, тогда, когда она имеет «неизменный» размер. И, похоже, астрономы только там ее и наблюдают. И все же эти наблюдения дают существенный разброс размеров радиуса планеты. Вот как это отображено в астрономическом ежегоднике:

1960 г. 2570 км,

1962 г. 2385 км,

1973 г. 2439 км,

1976 г. 2420 км,

2001 г. 2439 км.

Конечно разброс не очень значительный (все же постоянная точка наблюдения - афелий) но достаточный, чтобы задуматься, почему же это происходит, тем более, что в справочниках точность наблюдения дается ± 5 км, но не ± 50 же км. И хотя бы один раз попробовать определить, для уточнения, радиус Меркурия в перигелии. И прежде чем вернуться к геометрии, добавим, что в квантовой механике именно процесс гомотетии, сопровождающийся возрастанием энергии деформируемой элементарной частицы, обусловливает её прохождение через потенциальный барьер.

Рассмотрим, учитывая гравитационную деформацию тел, результаты некоторых экспериментов, необъясни­мых с позиций ньютоновской механики. Их можно достаточно условно разделить на две группы: эксперимен­ты в статической и динамической постановке. Еще раз отмечу, что и классическая механика, и теория от­носительности, и другие гравитационные гипотезы по­стулируют тождественный характер поведения тел приэтих качественно разных взаимодействиях.

Различие статической и динамической природы грави­тационных взаимодействий обусловлено дихотомией понятия «ускорение свободного падения» g. С одной стороны, оно является именно ускорением тел в падении (в динамике), с другой — выполняет функции напряжен­ности гравиполей тел (в статике). Поэтому при статиче­ской постановке эксперимента более сказывается уча­стие во взаимодействии свойств, связанных со сжимаемостью тел в условиях, когда время и скорость сжатия не существенны. И потому состояние поднятых (опущенных) относительно своего первоначального по­ложения тел определяется изменением плотности ρ и сжимаемости χ.

При «свободном» падении тел в возрастающем внешнем гравитационном поле (динамическое взаимодействие) сопротивление сжатию обусловливает движение их с различным ускорением. В свою очередь и скорость гравитационного сжатия в падении и величина де­формации определяются физическими и химическими свойствами тел.

Для определения деформации опускае­мых или поднимаемых над поверхностью Земли тел можно предложить расчетную формулу, выведенную Д.В. Черняевым [59]:

∆z = 9h²(l/χ₂ρ₂ – 1/χ₁ρ₁)/gR², (3.54)

где ∆z – расчетное расстояние между телами, опущенными с высоты h, g – напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения), R – радиус Земли, ρ₁, ρ₂ – плотности опущенных тел, χ₁, χ₂ – коэффициенты сжимаемости опущенных тел.

Формула (3.54) позволяет определить расстояние ∆z между двумя телами, опущенными с высоты h = 1 км и в пересчете этой разницы на собственный вес тела на новой высоте. Рас­чет по (3.54) производился для 6 типов материалов, имеющих одинаковый первоначальный вес, равный Р = 2,13865∙10⁴ г, и, как видно из табл. 12, на новой высоте все тела имеют уже различный вес. По закону Ньютона вес всех опущенных с одной высоты тел должен оста­ваться одинаковым и равным 2,14032113∙10⁴ г.

Коэффициенты сжимаемости χ достаточно приблизи­тельны, поскольку свойство сжимаемости тел для одно­го и того же материала варьируется в широких пределах (до порядка) в зависимости от технологии получения образца, его химической чистоты, кристаллической структуры и т.д. А поэтому при подготовке подобных тел к эксперименту необходимо фиксировать параметры каждого образца на высоте проведения эксперимента.

Таблица 12
Материалы χ , 10^-12 ρ, Р_п, 10⁴

смс/г г/см³ г.

Стекло 1,3 2,6 2,14048928

Сталь 0,6 7,7 2,14048913

Медь 0,7 8,93 2,14048902

Свинец 2,3 11,34 2,14048879

Платина 0,36 21,4 2,14048896

Уран 1,8 19,05 2,14048877

В статической постановке проводились эксперименты Р. Этвеша, Дж. Эйри, С. Стабса, Э. Адельберга, П. Бойнтона, П. Тибергера и большинство других. В этих экспериментах отсутствуют свободно падающие тела и используются различные конструкции крутиль­ных весов или гравиметров.

Наиболее известен в статической постановке классический эксперимент Р. Этвеша, проведенный почти 100 лет назад. Попытка двух исследовательских групп Бойнтона, а также Стабса и Адельберга повторить экспери­менты Этвеша с применением пробных тел из других материалов не привели к получению аналогичных ре­зультатов.

В эксперименте Этвеш использовал крутильные весы, подвешенные на упругой нити (рис. 30.). На коромысле весов закреплялись одинаковые по массе m пары пробных тел из различных материалов (всего 13 пар), поме­щаемые в эксперименте с одной стороны от массивных тел М. Если сила при- Рис. 30. тяжения пробных тел к массивным будет неодинакова, то коромысло повернетсяна некоторый угол и приборы зафиксируют этот поворот. Результаты эксперимента, проделанного с точностью до 10^-9-10^-10, были интерпретированы Этвешем в отчете как доказательство того, что ускорение свободного падения для любых тел с данной точ­ностью постоянно. Однако по отчету в 9-м знаке обнаруживаются заметные статические различия в ускорении 10 пар пробных тел. Именно эти различия и использовал Фишбах для подтверждения своей гипотезы. Поскольку в экспериментах Этвеша фигурирует не ускорение свободного падения, а изменение собственной напряженности гравитационного поля пробных тел,то анализ, результатов Эксперимента надо начинать с выяс­нения ответа на вопрос: на одном ли уровне проводилось вывешивание пробных тел и эксперимент с ними? К сожалению, это важнейшее условие для корректного объяснения эксперимента не зафиксировано ни в отчете Эт­веша, ни в публикациях Стабса, Адельберга, Бойнтона и ни в каких других публикациях, И это не удивительно, поскольку, как уже говорилось, механика Ньютона не предполагает никаких изменений в напряженности под­нимаемого или опускаемого тела.

А потому, проводя статические гравитационные опы­ты, экспериментаторы очень тщательно готовят и выве­шивают образцы, проводят и регулируют измеритель­ную аппаратуру, продумывают и отсеивают возможные помехи, но, по-видимому, не фиксируют то, на какой высоте относительно поверхности Земли гото­вятся образцы, и на какой проводится эксперимент. И если высота подготовки пробных тел отличается от вы­соты, на которой эксперимент с этими телами проводит­ся более чем на 10 м, то получаемые уже в 9-м знаке ре­зультаты очень сложно интерпретировать на основе ньютоновской механики. Результаты, полученные в эксперименте Этвешем, по­казывают, что большинство пробных тел из твердых ма­териалов вывешивались на несколько десятков метров выше (ниже?) уровня проведения эксперимента, вероят­но, в некоторой мастерской. А три пары тел из мягких материалов вывешивались в другом месте, скорее всего в лаборатории, где проводился эксперимент. Результаты от этих трех пар противоречили гипотезе Фишбаха и по­тому им не рассматривались. И получилось, что, прове­дя вывешивание пробных тел в мастерской, Этвеш привел напряженности их гравиполей к одной и той же величине относительно гравиполя Земли в данном месте.Подъем (опускание?) тел к месту проведения экспе­римента сопровождались изменением напряженности гравиполей тел. Это и повлекло за собой последующее отличие их во взаимодействии с массами М на один, два последних знака. Для трех пар тел, вывешиваемых на месте эксперимента, такого отличия уже не наблюда­лось.

Группа П. Тибергера из Национальной физической ла­боратории (Брукхейвен США) использовала в экспери­менте полую медную сферу с удельным весом, равным удельному весу воды, и плавающую в ней вблизи горы (рис. 31.). По-видимому, изготовление сферы и вывеши­вание ее в воде производилось в некотором месте, в уда­лении от горы. И пе­ремещение готовой сферы,а, возможно, и воды, в гору сопровождалось рассо­гласованием напряженностейих собст­венных гравиполей.

Поэтому медная сфера под действием сил F притяжения горы двигалась к ней, как бы подтверждая гипотезу Фишбаха.

Исследуя изменения напряженности грави­тационного поля gглубоких шахтах Австралии, Дж. Эйри регистрировал систематическое завышение эмпи­рической величины гравитационной «посто-янной» G относительно ее официального значения [88]. Величина гравитационной постоянной в шахтах составляет G_ф = 6,672∙10^-11 (±0,024) м³кг^-1с^-2, тогда как ее значение, при­нятое международной комиссией по фундаментальным кон-стантам, равно G = 6,6726∙10^-11(±0,00085) м³кг^-1с^-2 и, следовательно, с опусканием в шахты сила притя-же­ниявозрастает, что согласуется с Рис. 31. экспериментом Тибергера и как бы соответствует гипотезе Фишбаха.

Зная стандартное значение G, можно найти среднюю глубину R, p, на которую опускались приборы в шахты:

G²/R = (6,6725910^-8)²/6,378∙10⁸ = 6,98079∙10^-24 = А.

Подставляем фактическое G_ф и получаем:

R_ф = G²/A = 6,3769 км.

Откуда средняя глубина шахт равна:

R – R_ф ≈ 1,1 км.

Группа ученых под руководством К. Стабса и Э. Адельберга поместили установку типа Этвеша (крутильные весы) с пробными телами из меда и бериллия у склона горы и не получили подтверждения существова­ния пятой силы. (Можно предположить, что материалы готовились на одной высоте с местом проведения экспе­римента или, что также вероятно, совокупность свойств меди и бериллия обусловливает им одинаковую количе­ственную величину деформации.)

Теперь остановимся на динамических экспериментах. По постановке эксперименты с падающими телами сложнее статических, диапазон варьирования ими скуд­нее и потому проводятся они реже. Но именно в этих экспериментах можно непосредственно наблюдать за изменением ускоре­ния свободного падения.

Если в падении происходит меха­ническая деформация тела, а, следовательно, скорость сжатия не может превосходить скорость звука в теле, то можно получить следующую качественную формулу для максимального изменения расстояния ∆z между од­новременно отпущенными и «свободно» падающими с высоты h телами:

∆z = h²[(c₁² – c₂²)/R²]/g, (3.55)

где с₁ и с₂ – скорость звука в падающих телах. В табл. 13 показано расчетное изменение расстояния, по отношению к стали, между одновременно отпущенными телами — шарами одного радиуса и относительное уско­рение ∆а:

∆а = (g_c – g_t)/g

при падении их с высоты 1 м. Из нее следует, что все пробные тела за один и тот же про­межуток времени должны проходить участки пути раз­личной длины и, следовательно, падать с неодинаковым ускорением. Причем быстрее всех будет падать стальное тело, а медленнее всех — свинцовое тело.

Следует отметить, что при орбитальном движении планет, которое можно считать одной из форм падения, обнаруживается явление вековой прецессии перигелия. Эта прецессия, проявилась и при выполнении гравитационных маневров рядом с Землей искусственными аппаратами, «Галилео»,«NEAR», «Розетта».

Таблица 13

При прохождении ими перигея планет их скорость возрастала несколько больше, чем предсказывали расчеты. И это возрастание, как и прецессия перигелия, не имеет физического объяснения. Попробую разобраться с этим явлением.

Из формулы (3.55) следует, что все тела в падении сжимаются возрастающим гравиполем Земли (деформируют), т.е. накапливают кинетическую энергию. При прохождении перигея сжатие сменяется постепенным разряжением внешнего гравиполя, которое сопровождается раздеформацией тел, а накопившаяся кинетическая энергия, действуя как пружина, ускоряет раздеформацию. Поскольку искусственные аппараты движутся в космосе за счёт взаимодействия с гравиполем Земли (отталкиваясь от него), то кинетическая энергия раздеформации и обусловливает дополнительное ускорение космическим аппаратам. Естественно, что эта прибавка не значительна и у каждого аппарата определяется его физическими свойствами.

Прецессия перигелия планет имеет ту же механику, но происходит намного медленнее, а диапазон изменение напряжённости гравиполя Солнца не значителен, что и обусловливает планетам проявление прецессии только в вековом диапазоне. Но вернёмся к экспериментам.

В классической постановке эксперимент с падающими в вакууммированной камере телами был проведен груп­пой Дж. Фаллера в Колорадском университете [88]. С помощью интерферометра определялось ускорение сво­бодного падения пробных тел, изготовленных из меди Сu и урана U (рис. 32.). Луч света от лазера 1 расщеплялся полупрозрачным зеркалом 2 на два луча 3, по­следние, попадая на призмы 4, укрепленные на падающих телах 5 и преломляясь ими, направля­ются в интерферометр 6. Если тела падают с различным уско­рением, то интерференционные полосы от световых лучей в интерферометре испытают относи­тельное смещение

По гипотезе Фишбаха, урано­вое тело должно было падать с большим ускорением, 10^-9, чем медное. Однако эксперименты показа-ли, что медное телопадает быстрее уранового с относительным ускорением (a₂ – a₁)/g = 5∙10^-10, что проти­воречит результатам Этвеша, но оказывается достаточно близко к расчетной величине, найденной по формуле (3.55) и равной ~10^-9. Возможно, эта близость — следст­вие достоверности результатов экспериментов, а отсут­ствие Рис. 32. равенства 10^-9 ≠ 10^-10 может вызываться следующими причинами:

• различием в свойствах используемыхтел,

• различием в параметрах образцов,

• сглаживающим воздействием стабилизирующейап­паратуры и т.д.

Сиэтлская группа П. Бойнтона использоваласмешан­ную статико-динамическую модель гравитационного воздействия на пробное тело. Вместо крутильных весов они использовали кольцо, одна половина которого была сделана из алюминия, а другая из бериллия. Закрутив кольцо, и, таким образом, заменив статические гравивоздействия на движение вращения, они исследовали динамику вращающегося мaятникa.И обнаружили, про­водя эксперимент вблизи отвесной скалы, что «по виду колебаний кольца можно судить о различном статиче­ском взаимодействии массы скалы с каждой из половин маятника».

И это естественно. Сжимаемость алюминия и берил­лия различна. Когда кольцо поворачивалось к горе од­ной стороной, например, алюминием, оно сжималось медленнее и происходило торможение вращения. Когда же у горы двигался бериллий, это сжатие было более быстрым, и скорость кольца относительно движения бериллия возрастала. Эксперимент требует высокой точности наблюдения и правильной интерпретации. Результат можно значительно улучшить, заменив кольцо гантелью из тех же материалов и фикси­руя одновременно с вращением колебание подвеса отно­сительно вертикали.

Примерно аналогичный по конструкции установки эксперимент, переводящий «статическое» воздействие внешнего гравиполя во вращательное движение пробно­го тела (рис. 33.), а потому и более эффективный, проводился в России Б.Н. Додоновым [59]. Использовалась следую­щая схема эксперимента:

В круглой металлической пли­те 1, прямоугольного сечения имеется отверстие 2, в котором может размещаться кольцо 3 из пробного материала. В плите прорезаются пазы 4, направленные по касательной к кольцу 3. Пазы изменяют перпендику-­ лярное воздействие сжимающего гравитационного поля сплош-

ной плиты на касательное сжатие совокупностью образовавшихся отдельных плит. Если кольцо 3 пове­сить горизонтально на нити 5 и, дав емууспокоиться, надвинуть, без соприкосновения отверстием, плиту 1 (по­казано на рис. 33. штрихами), то касательное сжатие кольца гравиполями плит, вызовет его вращение в на­правлении, противоположном сжатию. Под этим воз­действием кольцо совершает много оборотов.Количество оборотов зависит от упругости нити подвеса и ма­териалов, из которых изготовлено кольцо и плита.

Таким образом, для объясне­ния экспериментов, фиксирую­щих отличную от законов Нью­тона, напряженность гравиполя тел при перемещении по высоте или раз-личное ускорение при «свободном» падении, нет не­обходимостипривлекать гипо­тезу о «пятой силе». Эти разли­чия обусловли-ваются неодина­ковым сжатием перемещаемых по высоте тел или соответст­вующим торможением их в па­дении гравиполем Земли.

Рис. 33.Отмечу еще раз, что всякое перемещение тела по высоте сопровождается измене­нием напря-женности внешнего гравиполя, деформацией тела, а также изменением его энергетического со­стояния. Возникающая деформация увеличивает кине­тическую энергию тела при опускании (тело, деформи­руясь, уменьшается, кинетическая энергия накаплива­ется, потенциальная убывает). При подъеме же тела происходит его раздеформация, процесс накопления энергии меняется на противоположный. Именно взаим­ное превращение кинетической и потенциальной энер­гии при подъеме и опускании тела, связанное с дефор­мацией, обусловливает механизм возвратно-поступа­тельного движения маятника (рис. 34.). Рассмотрим структуру колебания маятника с непод­вижной точкой подвеса О:

Маятник, тело-груз, подвешенный на невесомой нити в гравиполе Земли с неподвижной точкой закрепления О, при максимальном отклонении в точке А и симметрич­ной ей точке В имеет наименьшую деформацию, а сле­довательно, имаксимальную потенциальную энергию.

На рис. 34. схематично пока­зано движение маятника за один период. Оно складывается из двух одинаковых полупериодов АД и ВА. На схеме путь АВ разбит на 10 участков. Точки 1, 2, ..., 11 перво­го полупериода показывают место нахождения маятника в каждую последующую единицу временипри движении от точки А в точку В.

И соответст­венно, точки 11 .... 21 при движении от В к А. Из рис. 34. видно, чтоАВ и ВА полно­стью симметричны. Так же симметричны АО₁ и O₁B. Маятник, выходя из точки А, за полныйпериод про­ходит через все точкидважды (крометочки 11). В каж­дой точке (кроме 1 и 1l) маятник два раза имеет одина­ко-вую по модулю скорость движе-ния. Таким образом, структура движения маятника в обоих полу- Рис. 34.периодах одинакова. Она сохраняется на поверхности планеты при колебании в любой плоскости. Время колебания во всех последующих пе­риодах равно первому.

Это внешняя картина наблюдаемого движения. Если же рассматривать колебания маятника как процесс взаимодействия грузика с гравитационным полем Земли, то каждый полупериод необходимо разделить на два такта, соответствующих стадиям деформации и раздеформации тела грузика в движении.

I такт: Когда в точке А грузик отпускается, то под действием внешнего гравиполя и нити в падении он на­чинает двигаться к точке О₁. Движение определяется де­формацией тела-грузика и накоплением кинетической энергии, которая в точке О₁, достигает максимума. Здесь первый такт — деформация — заканчивается и начинается второй — раздеформация.

II такт: Перейдя точку О₁ грузик, используя нако­пившуюся, кинетическую энергию, продолжает движе­ние с раздеформацией до тех пор, пока в точке В вся кинетическая энергия не перейдет в потенциальную. Вто­рой такт — раздеформация — закончился, и процесс повторяется в обратном порядке.

Все параметры колебания маятника сохраняются симметричными до тех пор, пока напряженность внешнего гравиполя остается горизонтально однородной, верти­кально уменьшающейся с высотой. Само колебание ма­ятника по своему характеру аналогично колебанию, вы­зываемому механическим растяжением пружины.

Равномерное или ускоренное перемещение подвеса с маятником в любом направлении нарушает однород­ность воздействия внешнего гравиполя на маятник, обусловливает асимметрию его колебания. Характер асимметрии определяется процессом перемещения, вы­зывающим деформацию или раздеформацию как тела, маятника, так и окружающего гравитационного поля. А это означает, что состояния маятника с непод­вижным или движущимся подвесам качественно раз­личаются между собой,и это различия будет фикси­роваться приборами, находящимися, например, внутри закрытой тележки. Ниже я использую асимметрию ко­лебания для доказательства абсолютности всякого движения. Здесь же приведу описание и объяснения од­ного очень интересного эксперимента с маятником, про­веденного И.М. Крюковым.

Почти полвека назад И.М. Крюков сформули­ровал простенькую задачу о движении маятника, кото­рая до настоящего времени ставит в тупик специалистов механиков, как теоретиков, так и экспериментаторов, своей кажущейся неразрешимостью. И это притом, что процесс колебания маятника представляется наиболее изученным механическим процессом, а элементы ответа на вопрос излагаются во всех учебниках физики.

Задача может быть сформулирована в следующей форме:

Как значительно (на десятки процентов) изменить эмпирический период колебания маятника, не изменяя длину его подвески и напряженности внешнего гравитационного поля?

Если, согласно механике, принять что период колебания маятника определяется только этими двумя параметрами, то никаких способов его значительного изменения просто не может быть. И именно к такому выводу чаще всего приходят специалисты, рассматривая эту задачу. Однако такой вывод нельзя признать удовлетворительным, поскольку кроме вышеуказанных физических параметров существует и возможность изменения взаимного положения подвески и грузика маятника. Другими словами, грузик может быть неподвижным относительно подвески (иметь одну степень свободы) или свободно двигаться относительно ее, превращаясь в некоторое подобие ротора (иметь две степени свободы). И именно эта возможность оказывается фактором значительного варьирования периода колебания маятника. Рассмотрим, что происходит с периодом при колебании с одной и двумя степенями свободы.

Имеем грузик 1 на подшипнике 2 установленном на оси 3 (см. рис. 35.). Подшипник 2 обеспечивает возможность свободного поворота грузика относительно подвески 4, а сама подвеска 4 вращается в подшипниках 5. Устройство 6 – за- мок, который может заклинивать грузик, обусловливаяему в движении одну или две степени свободы.

Покажем, в полном соответствиис ньютоновской механикой, что частота колебания при одной степени свободы будет значительно отличатьсяот частоты колебания того же маятника с двумя степенями свободы. Рассмотрим колебания маятника с одной степенью свободы. (Грузик заклинен, массой подвески пренебрегаем.) 1. Введем следующие обозначения: J – момент инерции грузика 1 относительно оси 3; m – масса грузика: l – длина подвески (расстояние от центра оси 3 до центра оси 5-5); Q – угол отклонения маятника; g – напряжённость внешнего гравитационного поля (ускорение свободного падения); Т₃ – кинетическая энергия маятника с одной степенью свободы; Т_n –кинетическая энергия маятника с двумя степенями свободы.

Отметим, что при колебании с одной степенью свободы грузик маятника участвует как в падении (изменение положения по высоте), так и в повороте вместе с подвеской 2 относительно гравиполя Земли и его кинетическая энергия определяется уравнением:

Т₃ = JQ²/2 + тl²Q/2. (3.56)

Тогда функция Лагранжа будет равна:

L = (J + ml²)O/2 + mglсosO. (3.57)

Для O(t) имеем уравнение:

(J + ml²)O = - mglsinO. (3.58)

Рис. 35.Если угол O мал, то уравнение (3.57) может быть записано иначе:

O + g/l·O/(1 + J/ml²) = 0. (3.59)

И частота малых колебаний ω₃ равняется:

ω₃ = √[g/l(1 +J/ml²)] = (1 + J/mll²)^1/2√g/l (3.60)

Это (3.60) хорошо известное уравнение движения физического маятника.

2. При двух степенях свободы незакрепленный грузик в своем падении независим от вращения подвески (не поворачивается относительно гравиполя), следствием чего становится другая величина его кинетической энергии, потому будет иметь место иная частота колебания. Обозначим угловую скорость поворота грузика на оси 3 через к. Тогда кинетическая энергия Т_к равна:

Т_к = ml²O²/2 +J/2к², (3.61)

а функция Лагранжа;

L = ml²O²/2 + J/2k² + mglcosO. (3.62)

И для угла О получаем уравнение:

ml²O = mglsinO. (3.63)

Откуда находим частоту малых колебаний ?:

ω_к = √g/l. (3.64)

А это (3.64) не менее известное уравнение движения математического маятника.

Однако в современной механике никакой физической связи между уравнениями (3.60) и (3.64), кроме подобия в форме записи, не просматривается и потому предпола­гается, что они описывают как бы различные виды дви­жения. Что касается поворота грузика вокруг оси 3, то для угла поворота ω имеем уравнение:

d(Jк)/dt = 0.

Откуда, при угловой скорости поворота грузика рав­ной углу поворота подвески, получаем: к = const.

Превращение маятника из физического в математиче­ский только за счет изменения степени свободы грузика, сопровождаемой изменением кинетической энергии ко­лебания, при неизменной потенциальной энергии воз­можно только в том случае, если период колебания ма­ятника определяется силовым взаимодействием с каким-то внешним полем и величина взаимодействия зависит от формы закрепления маятника.