Золото русских матриц 1 страница

Как гласит легенда, итальянский математик Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи) изучая размножение кроликов, с удивлением обнаружил, что оно происходит не хаотичным образом. Оно создает удивительный порядок чисел, последовательное сложение которых (начиная с двух наименьших чисел натурального ряда 1 и 1, или 1 и 2) выводит образовавшуюся бесконечную последовательность на такое отношение двух соседних чисел, которое стремится к золотому числу Ф и тем ближе, чем это отношение дальше от начала ряда [47].Т.е. соответствует рекуррентному соотношению. Приведем начало ряда 1:

Ряд 1.

Теперь посмотрим, что происходит с любыми двумя случайными числами «построенными» в ряд, аналогичный ряду Фибоначчи, например, с числом 7 и числом 16 (ряд 2):

Ряд 2.

Проверим соответствие последовательности чисел ряда 2 правилу пропорционирования Фибоначчи. Делим, например, десятое число на одиннадцатое, а потом одиннадцатое на десятое:

691 :1118 = 0,6180679,

1118 : 691 = 1,6179450,

и двадцать первое на двадцатое:

137507 : 84984 = 1,618033983,

получаем результаты полностью аналогичные тем, которые следуют из последовательности рядов Фибоначчи и Люка.

А это, как уже упоминалось, означает, что ряды типа Фибоначчи и Люка появляются не только при использовании первых трех чисел натурального ряда, но и при последовательном сложении двух любых арифметических величин.

Отметим основные моменты свойств рядов Фибоначчи:

• Получение золотого числа Ф методом Фибоначчи – Люка не ограничивается сложением двух минимальных чисел 1 и 2, а распространяется на любую пару вещественных чисел.

• Золотое число Ф с точностью до четвертого знака включительно во всех случаях получается из соотношения двух соседних чисел ряда уже на одиннадцатой операции сложения. Количество операций сложения, необходимых для приближения к золотому числу, не определяется величиной слагаемых чисел.

• Последовательность приближения к Ф идет как сверху вниз (результат первого деления превышает Ф), так и снизу вверх (результат первого деления меньше Ф), но, никогда не становится равным Ф, приближаясь к нему на бесконечно малую величину.

• Если известно лишь одно слагаемое число ряда, то имеется возможность получения всего потребного для операций ряда и тем точнее, чем далее оно находится от начала ряда. Числа «помнят» о своем месте в ряду.

• Важнейшим обстоятельством, способствующем пониманию физического смысла золотой пропорции, становится наличие двух первых слагаемых. Можно полагать, что эти числа математически отображают качественные и количественные взаимосвязи реальных тел природы.

Продолжим рассмотрение ряда Фибоначчи, например, с восемнадцатого числа и попробуем понять, к чему стремятся получаемые члены ряда. Заполним ряд 3-й.

Ряд 3.

Разделим все члены третьего ряда на какое-то число из них, например, на двадцать пятое – 121393 и полученный результат запишем в четвертый ряд.

Ряд 4.

Получается, что члены ряда Фибоначчи, начиная примерно с 12 слагаемого, образуют собой геометрическую прогрессию, основанием которой является золотое число Ф, умноженное, как уже говорилось, на некоторый коэффициент, которым может оказаться любое число (слагаемое) ряда (например, двадцать первое 17711 или двадцать пятое 121393 в ряду 3 и т.д.). В результате деления членов ряда 3 на 121393 образовался золотой ряд чисел аналогичный ряду (2.15).

Таким образом, ряды типа Фибоначчи, имея началом как бы «случайные» числовые величины на одиннадцатой операции сложения начинают «изменять» своему арифметическому качеству, переводя его из арифметического в качество геометрическое. Таким образом:

• Каждый ряд Фибоначчи, последовательно возрастая, меняет свое качество и «вырождается» в геометрическую прогрессию.

• Все ряды геометрической прогрессии неявно включают золотое число Ф и бесконечны и в сторону возрастания, и в сторону убывания.

Несколько позже другой ученый, французский математик Б. Паскаль, изучая процесс деления клетки, обнаружил, что он происходит путем раздвоения материнской клетки, и каждая образовавшаяся последующая клетка тоже делится пополам, как бы структурируя геометрическую прогрессию. В симметричном же построении цифр столбцом друг под другом, проявляется что-то подобное треугольнику: 1; 2; 4; 8; 16; … и т.д. Процесс получения геометрической прогрессии со знаменателем два был назван «треугольником Паскаля».

Интересно то, что аналогичным образом получаются из полных целых меньшие элементы древнерусских соизмерительных инструментов – саженей. Сажень, полсажени, четверть сажени – локоть, восьмая часть – пядь, шестнадцатая часть – пясть, тридцать вторая – вершок.

Архитектор А.А. Пилецкий [44], использовал систему удвоения, раздвоения русских саженей для построения нескольких взаимосвязанных рядов Фибоначчи. Он сдвоил ряд последовательно слагаемых чисел, изменив его качество, и получил уже не один ряд, а как минимум два взаимосвязанных ряда чисел, которые образовали таблицу. И, по-видимому, впервые, создал более развитый вариант двойного пропорционирования, образовав единую систему чисел из нескольких рядов Фибоначчи. Поэтому ряды типа Фибоначчи, связанные в систему, следует назвать рядами Пилецкого. Построим таблицу 3 по его методу.

Таблица 3.

В этой таблице третий снизу ряд чисел – Фибоначчи (отмечен полужирным шрифтом). Все члены числового поля получаются по рядам последовательным сложением двух соседних чисел, т.е. методом Фибоначчи, а столбцы – удвоением каждого нижнего числа, т.е. методом Паскаля: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ... или, 2ⁿ, где 2 является знаменателем, а n = 1; 2; 3; …; → ∞.

«Вырежем» часть поля таблицы 1, начиная, например с двадцать первого числа и рассмотрим, какими коэффициентами (числами золотых пропорций) и как связываются числа этого поля (таблица 4). Для чего разделим все члены числового поля таблицы 4 на любое число, например, на 46368 (в таблице 4 выделено полужирным шрифтом) и, заполним аналогичную таблице 4 сетку получившимися числами с точностью до пятого знака.

Таблица 4

Образовавшаяся аналогия таблице 4 приобретает неизвестные в математике свойства золотой объемной матрицы (матрица 1). Поскольку при ее формировании использовался древнерусский метод раздвоение – удвоение саженей, то класс образовавшихся матриц и был назван «русские матрицы». Их отличие от стандартных матриц в том, что формирование числового поля начинается с базисной 1 и продолжается во всех направлениях. Т.е структура всех русских матриц обладает центром. Матрица 1 – фрагмент числового поля, относящегося к классу русских матриц, описанных в [43,45]. Это бесконечная во всех направлениях объемная золотая матрица, у которой члены средней строки повторяют греческий ряд золотых чисел, базисный столбец образуют целые четные числа Паскаля, а остальные числа поля пропорциональны золотым числам, и гармонически взаимосвязаны.

Класс русских матриц единственный из числа матриц, в котором два любых числа по горизонтали или диагонали при последовательном сложении или сложении через интервал образуют третье. Матрицы обладают особенностями, отсутствующими у других матриц, но главное – они базируются на золотых пропорциях. Матрица 1, например, имеет следующие золотые знаменатели (коэффициенты) взаимосвязи:

Матрица 1.

По столбцам – 2,

По строкам Ф = 1,618,

По диагонали слева направо снизу вверх 2Ф = 1,618× 2 = 3,236,

По диагонали слева направо сверху вниз 2/Ф = 2/1,618 = 1,236.

Таким образом:

• Применение геометрической прогрессии Паскаля к рядам Фибоначчи обусловливает появление рядов-таблиц Пилецкого с взаимосвязанными по всему полю числовыми значениями.

• Геометрические прогрессии рядов Пилецкого при делении всех чисел их поля на одно из них образуют золотые объемные матрицы.

• Числовое поле русских матриц создает высшую арифметическую и степенную комбинаторику как отображение гармонии природных процессов, выраженную в математической форме.

Метод сложения любых сдвоенных вещественных чисел Пилецкого обусловливает быстрое получение любого варианта золотых русских матриц.

Отметим, что матрицы могут образовываться набором рядов по знаменателю одного из взаимообратных чисел. Но золотыми русскими матрицами становятся только те матрицы, в которых хотя бы одну из трех клеток центра занимают Ф или Ψ. Центр матрицы создают три числа, образующих собою конфигурацию треугольника. Приведем запись формообразующих центров числовых полей двух матриц 1' и 2' с диагональным расположением золотого ряда:

Центром объемной матрицы становится базисная 1(единица), которая может оказаться единственным целым числом в матрице любого объема. Структуру золотой матрицы составляет двойная крестовая последовательность записи чисел, при которой в центре матрицы находится базисная 1, построчно цифры горизонтального ряда, а перпендикулярно ему вертикальный (базисный) ряд, формирующий числовое поле матрицы, который начинается с рационального или иррационального числа. По диагонали через 1 снизу вверх слева направо - диагональный ряд, начинающийся либо с золотого числа Ф либо с Ф в степени, либо со степени от Ф. Числовое поле матрицы распространяется в бесконечность во всех направлениях. Плоскую матрицу формируют три числа (объемную - четыре):

• базисная 1, всегда находящаяся в центре матрицы и наличествует во всех матрицах, иногда в виртуальном виде (7′′). Виртуальная единица становится истинной при делении всего поля чисел матрицы на любое из них;

• золотое число, следующее по диагонали от1, как в виде Ф, так и Ф в его степени или в степени от него;

• рациональное или иррациональное число над 1 (кроме Ф).

Приведу фрагмент русской матрицы 2 в которой Ф по расположено по диагонали.

Матрица 2, как и другие русские матрицы, имеет объемную слоистую структуру. Так, числа поля 1,414..., 1,272..., 1,144... и т.д. заполняют не только клетки вертикальной, видимой нами плоскости, но и клетки плоскостей, которые существуют за ней и не наблюдаемы. За данными числами находятся пропорциональные им числа другого слоя-плоскости, еще дальше – третьего, и так далее в бесконечность.

Матрица 2

Перед ними, т.е. в нашу сторону, виртуально, продолжается такое же бесконечное поле взаимосвязанных и при этом также связанных с числами плоскости матрицы 2, слои числовых плоскостей. Их можно представить и по-другому, проведя через базисную 1 и другие числа горизонтального ряда горизонтальную плоскость-слой. Эта плоскость будет разграфлена такими же клетками, как и вертикальная плоскость, и в каждой ее клетке будут находиться числа, пропорциональные числам вертикального слоя и Ф. То же самое произойдет и с горизонтальной плоскостью, проведенной через числа 1,414, 1,272, 1,144 и т.д.

В результате клетки каждого слоя объемной матрицы как бы образуют единичные кубические объемы-ячейки, содержащие по одному иррациональному и редко рациональному числу. И все числа бесконечного объема матрицы оказываются связанными между собой определенной числовой зависимостью, а, следовательно, базисная единица является невидимой (скрытой) составляющей каждого числа. Если формализовать такую структуру, то возникает необходимость описания матрицы относительно центра как точки ее отсчета. Именно от базисной единицы, находящейся на пересечении нулевой строки i = 0, нулевого столбца j = 0, и нулевого слоя k = 0 числовое поле распространяется во всех направлениях (см. матрицу 2). И сокращенная форма записи матрицы приобретает вид:

А = (а_ijk),

где i = –∞←…,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …, →∞,

j = –∞←…,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …, →∞,

k = –∞←…,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …, →∞,

Отметим основные особенности структуры русских матриц:

• основу каждой матрицы составляет базисная 1;

• плоскость собственной структуры матрицы имеет двойную крестовую систему расположения чисел с центром - базисной 1;

• числовая структура матрицы объемна и бесконечна во всех направлениях;

• все члены любой части числового поля матрицы индивидуальны, иррациональны, взаимосвязаны, но каждое число не равно никакому другому числу и по другую сторону базисной 1, всегда имеет свой обратный аналог;

• числовая структура плоской матрицы формируется тройкой чисел, а объемной матрицы – четверкой чисел. Количественные величины этих четырех чисел позволяет образовывать бесчисленное количество матриц со свойствами золотых пропорций;

• крестовая форма между столбцом и строкой матрицы обусловливает возможность использовать их как координатные системы для нахождения места любого числа ее множеств по показателю степени строки или столбца;

• базисный ряд может начинаться с любого числа как рационального, так и иррационального, но не может начинаться с Ф.

Далее речь пойдет о матрицах на вертикальной плоскости.

Русская матрица, например, матрица 2 – система, формальное математическое целое. Она, как и все матрицы аналогичной структуры, базируется на числовом ряде (2.15), (2.19). В центре матрицы - базисная 1, на которой, с любой стороны, заканчивается одно качество числового ряда и начинается другое. Все бесконечное количество чисел поля матрицы связано всеобщей инвариантной зависимостью, составляя взаимообусловленное числовое единство матрицы. Перед нами как бы необъятно расширенный вариант сдвоенного золотого ряда, обладающего новыми свойствами. Вот некоторые из них.

Все последовательные тройки диагональных чисел матрицы 2 повторяют свойство русского ряда «плести гирлянду» подобных треугольников.

Если в матрице 2 все числа каждой клетки возвести в квадрат, то получим матрицу 3, главная диагональ которой структурирована греческим рядом.

Матрица 3

Тот же результат достигается и в том случае, если, начиная от базисной 1, и по горизонтали и по вертикали вычеркиваем через один столбец слои, начиная с числа 1,272..., и через строку, начиная с 1,414..., и оставшееся поле матрицы «сплачиваем», сдвигая слои к базисной 1 (матрица 3). Если же вычеркивать слои и столбцы через строку, начиная с крестовины базисной 1, и сплотить оставшееся поле матрицы, то получим матрицу, обладающую теми же свойствами, но с виртуальной 1.

Последовательность диагональных чисел матрицы 3 после сплочения из матрицы 2, «теряет» способность образовывать «гирлянды» треугольников, но у них ярко проявляется достаточно скрытое в других формах матриц качество матричной «вязи», заключающееся в возможности получения арифметическими методами из одних чисел – других, находящихся в том же поле. Это своеобразная матричная комбинаторика.

Приведем, используя числовые члены поля матрицы 3 несколько примеров матричной вязи, с числами, находящимися в поле базисной 1 [43].

Складывая по диагонали вправо снизу вверх а_-2-2, а_-1-1, и а₀₀ получаем в результате число, стоящее в таблице над последним слагаемым а₁₀:

а_-2-2 + а_-1-1 + а₀₀ = а₁₀; 0,382 + 0,618 + 1 = 2.

Берем число а_-3-2 складываем его методом единицы (движение по полю матрицы как бы выписывает единицу) с числом а₀₊₁. Результат сложения а₀₀:

а_-3-2 + а₀₊₁ = а₀₀;

Используем метод двойного хода «шахматного коня»: число а_-3-3 складываем с числом а_-1-2 и получаем:

а_-3-3 + а_-1-2 = а₀₀;

«Шаги» могут быть и более «длинными». Например, возьмем число а_-6-6 на главной диагонали и число а_-1-3, сложим их и находим:

а_-6-6 + а_-1-3 = а₀₀;

Или, а_-4-3 и а_-1-2:

а_-4-3 + а_-1-2 = а₀₀;

Количество слагаемых может возрастать:

а_-8-9 + а_-7-7 + а_-5-5 +а_-3-3 + а_-1-1 = а₀₀;

становиться фрактальным:

а_-4-5 + а_-3-3 + а_-2-4 = а₀₀;

или образовывать различные комбинации из членов числового поля:

а_-6-8 + а_-5-6 + а_-4-4 + а_-4-7 + а_-2-2 = а₀₀. и т.д.

Аналогично осуществляются и другие математические операции. Приведем несколько примеров:

(а_-2-4)∙(а_+2-4) = а_0-6,

(а_-2-6) ∕(а_+2-2) = а_0-4,

(а_-1-2)²∙(√а_-2-4) = а_-3-6. и т.д.

Запишем уравнение, используя, например, матрицу 2:

(а_-1-1)² = (а₊₁₊₁)² – (а_-2-3)² – (а_-2-2)² – (а_-4-4)² (2.39)

Задержимся на нем. Если в (2.39) вместо членов а подставить координаты х, у, z, и s то получим уравнение статической геометрии, предложенное Гильбертом и Клейном:

s² = а² – х² – у² – z²,

Минковский интуитивно использовал это уравнение для построения новой геометрии путем введения «четвертого» измерения - времени t, приравняв а² = c²t² и получил: