Прямые — следы точек, движущихся к еди­ному центру и не достигающих этого центра за бесконечный промежуток времени, ¾ параллельны.

В этой аксиоме предполагается, что следы ¾ прямые, образуе­мые движущимися точками, совместно стремятся к еди­ному центру, который может находиться в любой точке пространства, но оставаться недостижимым, поскольку свойства напряженности пространства изменяются и своим изменением замедляют их движение (вспомните температурную сферу А. Пуанкаре). Каждый после­дующий шаг для них оказывается меньше предыдущего, и поэтому расстояние до центра О не может быть прой­дено даже за бесконечный промежуток времени. То есть эти движущиеся прямые никогда не пересекутся и, сле­довательно, они параллельны. Геометрия, основанная на данной аксиоме, названа русской геометрией, хотя является динамической или физической геометрией.

В предыдущем предложении подчёркнуто слово аксиома. И подчёркнуто не случайно. Выше утверждается категорически, что русская механика не содержит аксиом. И вдруг автор от категоричности отказывается. Не отказываюсь, а только стремлюсь показать, что аксиомы подменяют сущность физических явлений их наблюдаемым эффектом. Так, например, наблюдается, что «отношение кубов больших полуосей орбит к квадратам времён обращения для всех планет Солнечной системы одинаково (третий закон Кеплера):

4π²R³/T² = MG = const.

Правильнее:

Ѕ³/Т² = const,

где Ѕ – длина орбиты.

Из него следует, что const этой пропорции принадлежит только этим четырём свойствам, и совершенно непонятно какой механизм их связывает. И даже кажется, что произведение MG, хотя и имеет равный левой части уравнения результат, отображает только формальное равенство как взаимосвязь свойств через const, но никак не одинаковый механизм взаимодействия. Качественно R³/T² – движение, а MG – неподвижность, поскольку закон оперирует только движением. А что делать, если эта const связывает бесчисленное множество свойств, как бы не имеющих прямого отношения к третьему закону Кеплера? Приведу некоторые из них:

const – R³/τ² = R²vω= v²g/ω² = FG/g = FR²/M = v⁴τ … и т.д.

Этот набор инвариантов (которые я назвал кеплеровскими), показывает взаимозависимости свойств, но ничего не говорит о механизме их взаимодействий. Похоже, механизм взаимодействий отображается через комбинации взаимозависимостей свойств, связанных с движением R, v, τ, ω и т.д. А третий закон Кеплера можно формализовать в виде:

R³/τ² = сonst. (А)

Где τ = Т/2π – приведенное время, локальное время той области пространства, в котором космическое тело движется не по орбите, а падает на другое космическое тело.

Инвариант (А) в классической механике отсутствует так же, как и красивое уравнение-инвариант:

v⁴/τ = const, (Б)

а из него следует, что скорость вертикального падения тела, например, камня с земной орбиты на Солнце происходит не с положительным ускорением, а с отрицательным. И если представить Солнце газовым шаром, то указанный камень за бесконечный промежуток времени не достигнет центра Солнца, поскольку изменяемая плотность пространства обусловливает замедление течения времени пропорционально кубу скорости. И, следовательно, два камня падающих из различных областей никогда не столкнутся в его центре. В этом физический смысл третьего закона Кеплера, именно он отображается в формулировке динамической аксиомы о параллельных.

Следует отметить, что для русской геометрии становится неприменимым евклидово понятие "прямая линия", поскольку последняя не проходит через две существую­щие точки. Вероятно, более подходит следующее опре­деление: Прямая линия — след точки движущейся к дру­гой точке по кратчайшему пути. Евклидово определение понятия "точка" можно временно сохра­нить до осмысливания и понятия «точки» и понятия «прямая».

Рассмотрим, к каким последствиям приводит эта ак­сиома.

Предположим, что из точки А к точке О движется тело-точка (рис. 8) и за прошедшее время она прошла расстояние АА, след-траектория ко-торо­го есть прямая ли­ния. Будем Рис. 8. назы­вать ее прямой. Одновременно из точки А' к тому же центру О движется другое тело-точка. И эта точка прошла расстояние А'А'. Ее след-траектория тоже прямая линия или просто прямая, как и след всех последующих точек. Прямые АА и А'А', ос­тавленные движущимися точками, по геометрии Евкли­да не являются параллельными.

Но в динамической гео­метрии они параллельны, поскольку никогда не в состоянии достичь центра О и, следовательно, пере­сечься в одной точке. К тому же, в отличие от «прямых» Лобачевского и Римана, они действительно прямые. Определим, какие зависимости возникают между дви­жением этих прямых и элементами фигур, образуемых ими. Продолжим построение (рис. 9). Проведем допол­нительные прямые АА', А"А" , ... АⁿАⁿ так, чтобы по длине они оставались равными между собой, а расстоя­ние между ними определялось отрезком, выходящим из некоторой точки k прямой АА до точки k', лежащей на прямой А'А' под углом Akk' к прямой А′А' и равным ему углом А'kk' прямой АА

След следующей прямой проводим по тем же правилам из точки k' прямой А'А' к точке k" прямой А"А". И так до тех пор, пока отрезок, выходящий из точки kⁿ прямой А^пАⁿ, не замкнет построение ломаной на прямой АА. Поскольку расстояние между прямыми одина­ково, а углы на пересе­чении каждого отрезка с прямой равны, замы­кающий отрезок попа­дет в ту же точку k прямой АА, из которой вышел отрезок kkⁿ. Замкнутая ломаная kk'k" ...кⁿ образует равносто­ронний многоугольник. В результате получаем на плоскости «часто-кол» пря­мых, имеющих своим стремлением Рис. 9.недостижимый в бесконечности, а потому фиктив- ный, центр О. Все пря­мые в своем движении к недостижимому центру парал­лельны и по определению и по структуре напряженно­сти на поверхности плоскости. А основная особенность образовавшегося правильного многоугольника ¾ дихо­томия конечного и бесконечного в том, что конечный периметр замыкает в себя площадь бесконечной вели­чины. Если теперь через центры отрезков, образующих стороны многоугольника kk′ k'k", k"k"',…, kⁿk, провести новые прямые и соединить их отрезками по правилам, изложенным выше, то получим многоугольник с коли­чеством сторон, превышающем количество первого в два раза. При продолжении этой операции бесчисленное число раз длина отрезков kk', k'k",..., k"k будетстремиться к минимуму, а углы Аkk', А'k'k′′ А′'k′'k′",... устремятся к π/2, и в пределе многоугольник kk′k′′ …kⁿ должен превратится в окружность на плоскости. Плоскость окружности одно­временно будет обладать свойствами евклидовой стати­ческой геометрии, и содержать в своих границах пло­щадь конечной величины, и свойствами неевклидовой геометрии и содержать в тех же границах площадь ве­личины бесконечной. Две несовместимые площади как бы налагаются друг на друга.

В полном соответствии с геометрией Евклида длина окружности S будет равна 2π радиан, а радиус, напро­тив, будет стремиться к бесконечности, никогда не дос­тигая центра О. Последний в данном случае, отсутству­ет. Прямая может исходить из какой-то точки окружности или входить в нее, но никогда не может пройти бесконечность. В то же время, по геометрии Евклида, центр у данной окружности S имеется, длина ра­диуса R конечна и определяется уравнением:

R = S/2π.

Получается, что одни и те же геометрические элемен­ты можно одновременно мерить и жесткими стержнями (геометрия Евклида) и динамическими. А это означает, что между геометрией статической и динамической имеется определен­ная взаимосвязь. Попробуем ее отыскать.

Отложим от точки k вправо и влево (см. рис.9) по от­резку kk₁ и kk₂ одинаковой длины в евклидовой мерно­сти и, используя предыдущее правило построения, про­ведем через них еще две окружности k₁'k₁"k₁′"... k₁ⁿ и k₂′k₂′′k₂′′′… k₂ⁿ. Естественно, что окружности k₁ и k₂ по от­ношению к окружности k будут описанной и вписанной. И это единственное, что общее, как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии.

Отличие же их начинается уже с того, что наружу от окружности обе геометрии допускают проведение бес­счетного числа окружностей на одинаковом расстоянии друг от друга, а внутри окружности k, по геометрии Евклида, число таких окружностей ограничено, для динамичёской же геометрии — снова не ограничено. Каж­дая окружность — эквипотенциальная линия относительно точки О. И длина ее (или окружность) равна бес­конечности одного ранга, т.е. они равны между собой. Это есть следствие аксиомы о динамических параллель­ных. Оно может быть сформулировано следующим об­разом:

Дуги-хорды kk', k₁k₁′, пересекающие прямые АА и А'А' под одним углом и на некотором расстоянии друг от друга, имеют одинаковую длину.

Это следствие — теорема требующее доказательства. В настоящей работе она предлагается как аксиома. И на ее основе получается, что:

• В геометрии Евклида длина всех окружностей раз­лична, а в неевклидовой одинакова. Линия же окружно­сти является прямой.

• В геометрии Евклида линия окружности непрерыв­на, а в неевклидовой дискретна и состоит из бесчислен­ного множества одинаковых отрезков бесконечной дли­ны.

• В статической геометрии радиус окружности коне­чен, в динамической бесконечен.

• В статической геометрии взаимодействие между ра­диусом и окружностью отсутствует, в динамической на­личествует.

• Статическая геометрия радиусы и окружности не связывает со временем, в динамической такая связь имеется и т.д.

Таким образом, отсутствие одинаковых качеств у ок­ружностей двух геометрий лишает нас возможности оп­ределения взаимосвязи между ними по качественным признакам и вынуждает использовать свойства несоиз­меримых чисел (что вполне понятно, поскольку конеч­ное и бесконечное несоизмеримы по определению). Возьмем, например, два евклидовых круга одинакового радиуса r и площадью S. Сложим площади вместе так, чтобы образовался новый круг в два раза большей пло­щадью S' и определим, насколько радиус R нового круга больше радиуса r маленького круга. Площадь большого круга S'= πR² , малого S = πr²:

πR² = 2r²π R = r√2= 1,41421... r.

Число √2, по Дедекинду, и есть несоизмеримое ирра­циональное число, символ особого способа распределе­ния соизмеримых чисел [17]. В динамической геометрии, однако, это символ связности, а в данном случае — каче­ственный коэффициент, обусловливающий изменение пространства при движении в нем двух линий к отда­ленному центру. При коэффициенте связности, равном √2, две линии, движущиеся на плоскости к одному цен­тру, всегда параллельны, или, что то же самое, никогда не пересекаются на бесконечности. При устремлений √2 → 1 соизмеримость бесконечности меняется, и при достижении 1 динамическая геометрия переходит в статическую геометрию Евклида на плоскости.

Определим, чему равно несоизмеримое число, описы­вающее пространство. Используем метод построения окружности при образовании сферы. Для этого прове­дем множество одинаковых прямых АА, параллельных А′А′, направленных к единому центру, но не в плос­кости, а в объеме, и получим «ежик» прямых, устремленных в одну точку, на бесконечности. Пересечем их прямыми, исходящими из точки k₁, по ранее описанному методу. В результате по­строения получаем сферический многогранник, Сходя­щийся при бесчисленном увеличении граней в правиль­ную сферу, имеющую конечную площадь поверхности, но бесконечную длину радиуса.

Имеется и более простой способ построения сферы путем вращения образовавшегося круга вокруг прямой, например, АА (Рис. 9.), становящейся осью вращения, а при повороте на минимальные градусы «втыкаются» прямые, направленные к центру. Но при этом создается иллюзия, что образовавшаяся сфера име­ет выделенную ось вращения, и ось эта — прямая, про­ходящая через центр сферы. В данной же сфере ни одна прямая, входящая в сферу и идущая к центру, до него не доходит и тем более его не проходит.

Любым из этих способов можно построить бесчис­ленное количество сфер как внутренних, так и внешних по отношению к базисной сфере k, объем каждой, из ко­торых будет конечен в евклидовой геометрии и беско­нечен в динамической. И если объем всех евклидовых сфер геометрически различен, то объем неевклидовых сфер физически равен друг другу, т.е. обладает тем же соотношением качеств, что и окружности.

Теперь, исходя из метричности евклидовых объемов сфер, определим величину коэффициента объемной связности (объемное число Дедекинда). Мысленно вы­членим внутри одной сферы V другую таким образом, чтобы объем вычлененной сферы V_о и объем сферы V₁ между поверхностями двух сфер были равны: V = V_о, тогда суммарный объем V равен:

V = 4/3πR³ ; V₁ + V_о = 2V = 8/3πR³.

Определим, насколько радиус внешней сферы R превы­шает радиус внутренней r, R³ = 2r³.

Отсюда: R = ³√2r = 1,259921 ... r. k = 1,259921.

Таким образом, коэффициент связности объема k (не­соизмеримое число Дедекинда) равно:

k = ³√2 = 1, 259921...

Это число, как и коэффициент связности окружности, является иррациональным и обусловливает бесконечное движение параллельных к центру сферы.

Хотя коэффициент связности и является безразмерностной величиной, он качественно индивидуален для каждого параметра. Говоря словами Дедекинда, каждый коэф­фициент принадлежит своему и только своему рангу па­раметров, а потому для каждого из них необходима соб­ственная индексация.

2.2. Структурирование динамического

пространства

Известно, что проблема бесконечного включает дихо­томию взаимосвязи двух пар категорий, с одной сторо­ны, различие конечного и бесконечного, с другой — по­коя и движения. Попарное существование противо­положных форм категорий обусловливает различие в подходе к описательному отображению космических тел и структур. Это различие, прежде всего, относится к первичным понятиям: тело-точка, прямая-луч, плос­кость, движение и т.д.

Выше было показано, что тело в динамической гео­метрии представляет материальную сферу, бесконечную внутрь и отграниченную собственной поверхностью от окружающего пространства. Тело, как вещественное об­разование, формирует структуру и влияет на внешнее пространство в соответствии с энергетической на­пряженностью, создаваемой количественной величиной всех своих свойств.

Тело можно представить точкой только тогда, ко­гда ее параметры и собственная напряженность несо­поставимы по рангу с параметрами и напряженностью окружающего пространства и тел, образующих структуру данного пространства.

Линия или прямая есть условный след от движения точки (тела) в пространстве. И начало, и конец линии входят в поверхность некоторых точек. Линии на уча­стке от поверхности одной точки-сферы до другой имеют конечную длину изменяемой метричности, отождествляемую с некоторой метрической цифрой.

Если эту же прямую продолжить за пределы поверх­ности конечных точек-сфер, или внутрь их, то прямая станет иметь бесконечную длину, не отождествимую ни с какими действительными числами.

Линия (условная), соединяющая две движущиеся оп­ределенным образом точки, называется образующим лучом или образующим. Образующий луч индексируется начальной буквой слова — Л. Так, если одна из точек не­подвижна на плоскости, а другая, не меняя расстояния до первой, описывает в движении правильный круг, то образующий луч с такими свойствами в геометрии на­зывается радиусом.

В пространственных системах образующий луч Л всегда подвижен, и каждая его точка в процессе движе­ния описывает геометрическую фигуру, соответствую­щую уравнению движения и коэффициенту связности. Естественно, что в уравнении движения зашифрована и напряженность области концевых точек луча и про­странства, в котором луч движется. (Везде предполага­ется, что след движения остается только от перемеще­ния концевых точек.)

Основной способ движения луча в динамической геометрии — собственное удли­нение или сокращение (пульсация) с определенным пе­риодом, сочетающийся с вращением и некоторым

про­странственным перемещением, например, в простран­стве декартовых координат. Поэтому кривые (следы), плоскости и пространства всех геометрий, включая Евк­лидову, Лобачевского и Римана, описываются обра­зующим лучом, один конец которого может двигаться по линии или оставаться неподвижным, а другой, в движении, удлиняться или сокращаться. На рис. 10 показано, как, двигаясь на плоскости, образующий АО от точки А до точки А', остается неизменным по длине и описы-

вает дугу окружности пол­ностью в соответствии с геометрией Евклида. В точке А' он в движении начинает укорачиваться и до точки А" движется по сферической кривой, описывая линию положи-тельной кривизны в соответствии с гео­метрией Римана. В точке А" происходит следующий пе­релом и образующий на участке А" А"' начинает описы­вать линию отри-Рис. 10. цательной кривизны по геометрии Лобачевского до точки А'", после которой линия движе­ния снова меняет «свою» геометрию и т.д. Переломные точки А', А", А'", А"" имеют статическую для этой об­ласти величину луча, и потому луч может быть отнесен к геометрии Евклида. Перелом есть изменение качест­ва, процесс перехода от одной кривизны к другой.

Оба конца луча могут совершать любые движения, описывать самые различные фигуры, кроме тех, кото­рые могут привести к их пересечению между собой. Так, например, если конец луча, описывающий кривую АА'А"А'"... (рис. 10), замкнется при одновременном движении другого конца-точки О по прямой, то выпи­сывается объемная фигура — профилированный ци­линдр. Если же точка О будет двигаться по окружности, то вместо цилиндра получается тор того же профиля. Таким образом, возникновение искривления как поло­жительного, так и отрицательного, связано с изменени­ем длины луча, создающего это «искривление». Длина луча, в свою очередь, зависит от напряженности про­странства в различных направлениях от точки, из кото­рой он исходит. Изменение напряженности не есть ис­кривление поверхности и не приводит к нему, а вызывает изменение метричности. И, следовательно, длины луча. Покажу это (рис.11).

Пусть луч АО, исходящий из условной точки О, двигаясь по отрезку окружности АВО, начал удлиняться и в точке А' пересек прямую А"О. Продолжая дальнейшее движение, он пересек также прямую ОВ" — окончание дуги АВ.

Дуга АВ разделена прямыми на четыре равных отрезка к, l, т, п. Прямые, разделившие дугу, продолжены до пересечения эквипотенциальной линии А" В" и также делят эту дугу на четыре Рис. 11. равных отрезка к", l", т", п". В пространстве отрезки k" = k = l′′ = l = т" = т = п" = п, как следствие пропорционального изменения напряженно­сти от точки О к периферии поверхности. Поскольку пропорциональность напряженности сохраняется на всей поверхности, то отрезок А'В' делится на четыре части к', l′, т', п′ так что: к' = l' = т' = п′ хотя по евклидо­вой и римановой геометрии к' ≠ п′.

Естественно также, что к = к' = к"; l = l' = l"; т = т' = т"; п = п' = п". То есть все отрезки равны между собой так, что отно­шение каждого из отрезков к длине соответствующего луча между эквипотенциальными дугами будет величи­ной постоянной. Именно это свойство напряженности пространства обусловливает образование пространст­венных ячеек — основных элементов динамической гео­метрии. Напряженность и изменение метричности (кри­визна относительно статичности) — это те факторы, которые не учитывались в теории кривизны ни Гауссом, ни Риманом. Отмечу, что кривизны поверхностей, а тем более кривизны объемов в пространстве не суще­ствует. А поскольку пространство отображает динами­ческую структуру реального мира, то эмпирическое подтверждение ее адекватности этому миру можно по­лучить прямо на поверхности Земли.

Приведу описание нескольких экспериментов, под­тверждающих такую возможность. В долине вблизи гор можно построить горизонтальную мерную милю из иде­ального материала длиной в 3 км (с точностью до 1 см). Произвести геодезическую съемку этой мили и перене­сти ее размеры не по отвесу на горное плато на высоту одного, а лучше 2 км, и там построить по теодолиту другую горизон­тальную мерную милю той же длины. Современные геодезические приборы позволяют провести операцию переноса на несколько десятков километров с точно­стью до 2-3 см. В соответствии с геометрией Евклида мили и в долине и на плато должны быть не одинаковой длины. Миля на плато на высоте 1 км будет на 47 см длиннее мили в долине, а на высоте 2 км – на 94 см.

Следует замерить милю в долине несколькими твёрдыми мер­ными линейками, проведя ими же в аналогичных усло­виях измерение мили на плато, убедиться, что она в точности, до ошибок измерения, равна миле в долине, а, следовательно, мерные линейки изменили свою длину.

Другой эксперимент: на горе с горизонтальным плато на высоте 2 км выложить горизонтально из 40-50 сталь­ных стержней длиной по 20-25 м (± 0,1 мм) единый стержень километровой длины. Отметки его концов пе­ренести теодолитом в долину под горой, потом разобрать конструкцию, перебросить ее в долину и вновь собрать. Согласно геометрии Евклида собранная конструкция должна быть длиннее отметок на 32 см. Однако длина стержней при из­мерении метром окажутся в рамках отметок ± ошибка измерения.

Наконец можно просто провести геодезическими при­борами измерение отрезка относительно горизонталь­ной поверхности в долине на длине 10 км и, замерив та­кую же длину, перенесенную теодолитом на плато на высоту 2 км, убедиться с достаточно грубым приближе­нием (± 25-30 см) в исчезновении при измерении отрез­ка почти трехметровой длины. (Можно предположить, что аналогичные нестыковки уже встречались карто­графам и геодезистам и не получали теоретического объяснения.)

Рассмотрим в общих чертах структуру пространст­венной ячейки отграниченной нейтральными зонами. Пространственные первичные ячейки образуются ядра­ми по периметру своей нейтральной зоны, соизмеримые по напряженности с напряженностью окружающего пространства. Они могут включать одно ядро (редко), два ядра (большинство), несколько ядер (редко). В настоящей работе напряженность схематически обознача­ется условной линией, как бы оставляемой ядром тела, взаимодействующего с пространством. Эти линии по наглядности являются некоторым подобием фарадеевых силовых линий, а в геометрии это геодезические линии. Прямые напряженности выходят из пространства одного ядра 1 (рис 12) с фиктивным центром О и входят в пространство другого ядра 2 с фиктивным центром О₂. Линии напряженности О₁АО₂, О₁ВО₂, О₁СО₂..., соеди­няющие фиктивные центры, в пространстве параллель­ны. В точках А, В, С, D, ... они испытывают кажущееся преломление, обусловленное зоной единой минималь­ной напряженности — нейтральной или эквипотенциаль­ной зоной.

Ячейка образуется только тогда, когда оба ядра имеют пространственную линию общей эквипотенциальной зоны (нейтральные зоны), как бы выделяющую их из окружающего пространства. Эти зоны образует из них единую систему и не позволяет ядрам покинуть ее. Именно она обусловливает дискретность пространства одного ранга.

Первичные ячейки через нейтральные зоны взаимо­Дей-ствуют с окружающими ячейка-ми и входят в состав ячеек несо-измеримого ранга. Общая струк-тура про­странства ¾ иерархия равенства. В пространстве ячей­ки между ядром и нейтральной Рис. 12. зоной могут существо­вать спутники ядра 3 с центром О₃. Между спутником и ядром также существует нейтральная зона А'В'С ... А"В"С", охватывающая спутник эллиптической сферой. Выходящие из центра О₁ линии входят в центр О₃ или замыкаются в нейтральной зоне. Радиус (статический) спутника определяется граничными условиями. Про­странство ячейки, ядра и спутника всегда находятся в движении.

Ядро как элемент ячейки и самостоя­тельная система единой внутренней напряженности име­ет сложную струк­туру, обусловлен­ную материально­стью самого образо­вания. Оно включа­ет несколько «скорлуп»-сателлитов 1 (рис. 13), у которых нейтральная зона 2 каждой скорлупы находится либо вну­три этой поверхно­сти, либо у самой поверхности, что и удерживает их в единой системе. Поэтому сферы сателлитов, взаимодействуя нейтраль­ными зонами, образуют на своей внешней поверхности равновеликую напряженность, интегрированную уже как напряженность самого ядра.

Пространство внутри скорлуп (рис. 13) материально и имеет напря-женность более высокого ранга, чем снаружи. В этом пространст­ве может на-ходиться внутреннее вещественное ядро-керн 3. Его напряженность несоиз-мерима по рангу ни с напряженностью пространства ячейки, ни с напряжен­но- Рис. 13. стью сателлитов. Она есть плотность другого ранга.

2.3. Свойства пространственных систем

Рассмотрим, что неявно происходит с пространством при возникновении в нем тел, отображаемых элемента­ми динамической геометрии [36]. Возьмем чистый лист бумаги и предположим, что этот лист есть некоторая плоскость, однородная и изотропная в четырех направле­ниях, а, следовательно, на пространстве листа мы не за­мечаем никакой структуры и внутренней напряженно­сти. Эта поверхность может быть названа бес­форменной, хаотичной, или поверхностью одного ранга. Структура этого ранга и его ячейки нами не фиксируют­ся.

Поставим в любом месте листа точку. Точка на листе никакой роли не играет, структуры не создает, и как бы не возникает напряженности различной плотности на всей поверхности. Но хаос уже исчез, точка изменяет плотностное качество всего пространства и становится центром образования нового пространства, центром структуризации и изменения его качеств, центром дру­гого ранга. И не существенно, пространство ли это лис­та или пространство космоса, в котором имеется тело. Существенно в подходе к явлению, к его формализации ¾ другое. Образует ли точка пространство актуальной бесконечности или бесконечности потенциальной? Именно одна из сторон двойственности обусловливает процесс понимания формализации элементов различных пространств по мере их воссоздания на листе.

Точка, как и другие элементы в пространстве потен­циальной бесконечности (или в объеме), не равнозначна другим, не видимым на листе точкам, и уже создает (да­же если это не отражают условия задачи) в окружающем пространстве некоторую напряженность, определяемую изменением метрического пространства. Именно метричность есть агент, отображающий распространение плотности напряженности от точки в пространстве. При этом на бесконечности одного ранга плотность убывает от точки до нуля. (Нулевая плотность напряженности равна напряженности, создаваемой телами нижнего ран­га и потому не равна 0.) Поскольку значимость точки определяется ее рангом и рангом пространства, то ранги определяют также изменение метричности.

Если на плоскости (в пространстве) имеется две или несколько точек, то напряженность между ними опре­деляется рангом точек. Поскольку в задачах чаще всего задается одинаковый ранг, то плотность напряженности между точками становится неоднозначной. Но между ними всегда имеется зона одинаковой плотности напря­женности — нейтральная зона. Структура всех напряженностей между точками определяется именно харак­тером и местом нейтральных зон. В плоскости (как и в объеме) актуальной бесконечности напряженность от­сутствует, а, следовательно, может отсутствовать и метричность (что и наблюдается в проективной геометрии). Если же она присутствует, то неизменна величиной по всей плоскости (по всему объему), и точка, как и другие фигуры в этом пространстве, на пространство никакого влияния не оказывает.

Поставим еще одну точку. Структуризация возросла, и снова изменилось качество всего пространства. Между точками по различным критериям может быть найдена активная область или нейтральная зона, разде­ляющая как их, так и плоскость листа. Или они могут быть соединены одной линией, которая делит лист уже на две иные, чем нейтральная линия, части, создавая иные пространства по обе ее стороны.

Соединим точки линией, и в одном из образовавшихся пространств, в стороне от линии, поставим точку, создав тем самым все необходимые предпосылки для форму­лирования или пятой аксиомы Евклида или основной аксиомы динамики пространства. Все имеющиеся на плоскости элементы равнозначны или, по современной артикуляции, равноправны, и только движение опреде­ляет их принадлежность к динамике. Если теперь со стороны прямой, восстановив до точки М образующий луч, двигать его неизменным по длине вдоль прямой, то точка, в которую он вошел, будет оставлять след евкли­довой прямой, параллельной базовой. И это будет про­должаться бесконечно, если... если мы не последуем за Дезаргом. Дезарг, исходя из кажущегося пересечения в перспективе параллельных в одной точке, предложил считать пересечения проекциями «бесконечно удален­ных» точек, равноправными со всеми остальными эле­ментами. Так, в проективную геометрию вошли «несоб­ственные (бесконечно удаленные) точки» и «несобст­венные плоскости» — плоскости, на которых лежат эти точки.

Введение «несобственных» точек и плоскостей нарушило равнозначность элементов геометрии, было пер­вым качественным отображением на плоскости фак­торов напряженности пространства и свидетель­ствовало о другом ранге несобственных точек. Однако нарушения равнозначности элементов обнаружено не было, и не потому, что оно отсутствует, а потому, что и обычным, и несобственным точкам и площадям постулировали равноправие. Это постулирование рав­ноправия обусловило полную статичность проективной геометрии, нивелировало напряженности, привело к тому, что все прямые одной плоскости Дезарга всегда пересекаются на бесконечности. Таким образом, во­прос о различной напряженности у точек и линий на плоскости даже не возник. Развитие получили аксиомы статической геометрии.

Если теперь, для примера, представить движение колес паровоза по рельсам в пространстве обычном и не­собственном (потенциальной бесконечности), то мы увидим, как бы следуя за ним неизменными, что рельсы сначала будут параллельными (расстояние между ними — образующий луч, остается неизменным). Затем под воздействи­ем возрастающей напряженности несобственного про­странства начнут сходиться, (образующий луч будет уменьшаться и, соответственно, паровоз тоже) и, по­дойдя к несобственной точке, луч станет по «длине» меньше ее. Пройдя поверхность сферы-точки, т.е. про­никнув в объем другого ранга, луч продолжает умень­шаться и, миновав центр (но не через него), начинает возрастать до противоположной поверхности сферы.

Поскольку напряженность поверхности вокруг точки сферически симметрична (в предположении, что точка находится вдали от других точек), по выходу из несоб­ственной точки луч начнет расширяться, а рельсы, сле­довательно, расходиться под тем же самым углом, под которым они сходились. В результате возникнет полная иллюзия того, что в несобственной точке произошло пе­ресечение рельсов. На самом деле, на всем протяжении движения к точке, сквозь нее и за ней рельсы оставались параллельными. Менялась же напряженность несобст­венного пространства и несобственной точки в полном соответствии с динамикой пространства, что и создава­ло иллюзию схождения и расхождения рельсов. (Иллюзию их пе­ресечения в одной точке.)

Вторично неявная напряженность геометрической по­верхности проявила себя в геометриях Лобачевского и Римана. Это станет особенно заметно, если луч Л, вхо­дящий в точку М из прямой а, начинает двигаться вме­сте с точкой М на бесконечность, например в правую сторону (рис. 14). Причем граничныеусловия аксиомы запрещают точке приближение к прямой а, а лучу — со­кращаться по длине, но не запрещают точке М удалять­ся, а лучу Л удлиняться (своего рода пространственное отталкивание). Поэтому по мере движе-ния точка начи­нает откло-няться от прямой —ветвь в'. Если же луч Л вместе с точкой будет двигаться в левую сто- Рис. 14.рону, то получим анало­гичное отклонение от прямой а — ветвь в. Фигура, образуемая обеими ветвями как бы единой прямой в, окажется не эквиди-стантой, а некото­рой седловиной образуемой двусторонним движением.

В этом построении начинает проявляться физический смысл движения, и получается, что точка М замыкает на себя две само­стоятельные ветви прямойв, разрывая ее и имея статус несобственной точки (точки одного ранга с прямой). Отсюда также следует, что пространство, в котором двигаются прямые, анизотропно. А потому луч Л, дви­гаясь от точки в любую из сторон, будет изменять свою длину пропорционально изменению напряженно­сти пространства и движущейся точки. И также про­порционально этой напряженности будет меняться метричность отрезков по длине прямой вМв'.

Если же граничные условия (формулировка Римана) препятствуют отклонению ветвей в и в' от прямой а при движении в обе стороны от точки М, то ветви, переме­щаясь на бесконечность, будут приближаться к прямой а (рис. 15). Таким образом, граничные условия не по­зволяют образующему лучу в движении удлиняться, ос­тавляя ему возможность сокращения. И в этих условиях луч Л выписывает подобие эллиптической кривой (сво­его рода пространственное притяжение). Однако конеч­ные точки ветвей в, в', имеющие ранг прямой а, никогда не пересекутее. И кривая вМв' никогда не будет иметь общей точки с прямой а. Она не замкнута.

Подобие линии вМв' эллиптической кривой послу-жи­ло основанием для наре-чения римановой геометрии имени «сферической» и заву- Рис. 15.алировалокак существование на­пряженности пространства, так и разрыв кривой в точке М. Поэтому образованная данной кривой, при вращении ее вокруг а, сферическая поверхность не может считать­ся истинной сферой и потому, что след точки М несет в себе момент нестыковки ветвей в и в', и потому, что эта "сфера" оказывается незамкнутой с линией а, и потому, что внутри "сферы" остается элемент образующей ее структуры — прямая а.

Напряженность, выражаемая элементами геометрии в виде неравноправных, несобственных точек и линий, по-видимому, снимается введением в геометрию поня­тия абсолюта — такой геометрической фигуры, которая остается неизменной при любых преобразованиях дан­ной подгруппы. Следовательно, абсолютом считается элемент, ранг собственной напряженности которого выше остальных элементов данной плоскости. И все преобразования, изменяющие форму остальных элемен­тов (и их напряженность), не в состоянии изменить на­пряженность абсолюта.

Таким образом, понятие абсолюта окончательно за­крыло в геометрии все направления возможного описа­ния реального мира в терминах напряженности, движе­ния, взаимодействия. Геометрия стала чисто статиче­ским описанием только одной актуальной бесконеч­ности.

Попробуем в самой эскизной форме резюмировать не­которые первичные понятия и свойства элементов ди­намического пространства. Прежде всего, отметим важ­нейшую роль познания потенциальной бесконечности. Бесконечность, как понятие высшая, форма абстраги­рования. Представление об осуществимости абст­рактного движения в бесконечность приводит к противоречию с проявлением неопределенности и недости­жимости в отдалении от нашего сознания. Движение в бесконечность оказывается абстракцией, связанной с возможностями качественного изменения дискретного пространства с переходом от пространства одного ранга к пространству другого ранга. Именно ранжиро­вание бесконечностей по уровням определяет соизме­римость или несоизмеримость пространственных обра­зований или отрезков прямых.

Иерархическая равнозначность ранговых структур по их положению и естественное взаимодействие при дви­жении определяет дискретность и непрерывность обра­зуемого ячейками пространства плоскости или объема. Ячеистое поле пространства само для себя и для своего ранга дискретно, а для верхнего ранга непрерывно и но­сит полевой характер. Динамическое пространство все­гда не пусто.

Естественный смысл бесконечности заключается в ее количественной и качественной незавершенности. Это выражается, в частности, через изменение метричности в сопоставлении с метричностью статической геометрии. Каждый последующий шаг всегда отличен от предыдущего качественно и количественно.

Как только вводится понятие бесконечного простран­ства, т.е. пространства имеющего другое качество, и элементы геометрических фигур устремляются в бесконечность (например, пятая аксиома в формулировке Евклида), тем самым в статическую геометрию неявно вводятся новые, не присущие ей качест­ва (движение, недостижимость бесконечности, неопределенность, время, вза­имодействие и т.д.). И эти качества коренным образом изменяют поведение геометрических элементов и пространства, которое описывается ими. Эти качества приводят к взаимосвязи всех элементов движения и геометрическая статическая общность точек, отрез­ков, плоскостей, объемов сразу наполняется физиче­ским содержанием и становится разделом физики; системной общностью. Общностью, в которой ни одна точка, ни одна фигура, ни в одном месте пространства не обладает истинной самостоятельностью, остава­ясь в то же время равновеликой по значимости и взаи­модействию со всеми фигурами и пространством. И всякое ее движение в любом направление этого про­странства будет сопровождаться изменением ее гео­метрических (статических?) параметров пропорцио­нально напряженности самого пространства. Однако динамические (физические) параметры этой общности останутся неизменными. И эти качественные проти­воречия изменяемости и неизменности параметров в статическом и динамическом состояниях тоже неявно заложены в пятую аксиому Евклида.

Имеются неоднозначности и в соизмеримости рас­стояния в пространстве между двумя произвольными точками А и В. Хотя оно и в одном и в противополож­ном направлении количественно равно (понятие рас­стояния применено здесь по аналогии с Евклидом), но не эквивалентно и потому не отвечает требованиям рефлективности, симметрии и транзитивности (следст­вие неоднородности и анизотропности пространства), оно не может быть взято безотносительно времени и плотности, которые в неявном виде присутствует в каж­дой области пространства.

Перенос отрезков или фигур параллельно своему по­ложению вдоль замкнутого контура вызывает их посто­янное самотождественное изменение, но в результате обхода контура конечная фигура совпадет с первичной. В пространстве отсутствуют малые поверхности и объ­емы (относительно измерителя), и перенос фигуры или мерного инструмента из одного пространства в другое вызывает изменение длины мерных инструментов (от­носительно статики) пропорционально напряженности внешнего поля данного пространства. Сумма же углов треугольника и на поверхности сферы, и в объеме все­гда равна 2π. Эта особенность исключает возможность определения разницы в геометриях. Отличительная особенность динамического пространства и образованного им пространства — детерми­низм. Именно каузальность порядка причина-следствие определяется коэффициентом связности и золотым мно­гообразием.

Рассмотрим основные фигуры пространства. Все ма­териальные образования одного ранга, кроме продуктов катастроф, стремятся приобрести форму сферы. Сферы одного пространства обладают следующими качества­ми:

• все сферы, построенные вокруг отсутствующего единого центра, равны. Их эквипотенциальная поверх­ность состоит из бесчисленного количества ячеек, а ра­диус имеет бесконечную длину;

• каждый отрезок исходит из точки и входит в другую точку. Однако их можно продолжить по прямолинейной поверхности сферы до исходящего отрезка и считать непрерывными;

•сферы всегда ядра и на плоскости и в пространстве различаются по рангу. Сферы более «низкого» ранга могут считаться точками. Точка — это всегда матери­альная сфера, не имеющая центра.

Точка — ядро, структура которого несоизмерима по рангу с пространством, в котором она находится, и влияющая на это пространство. Внешняя поверхность отграничивает ее от пространства. Точка всегда беско­нечна вглубь. Точка на прямой или в пространстве и луч из нее — это отделение соизмеримой области простран­ства (внешняя часть образующегося луча) от несоизме­римой (части, устремленной к центру точки).

Все точки одного ранга неравнозначны по количест­венным величинам всех качеств и в первую очередь по напряженности. Поэтому метрика координатных осей с центром в любой окрестности точки, кроме ядра, бу­дет различной (относительно статического эталонного метра).

Ячейка (две или более) — взаимосвязанные напряжен­ностью собственного поля сферические структуры (яд­ра), несоизмеримые по размерам с расстояниями между ними, входящие в единую внешнюю эквипотенциаль­ную нейтральную зону. Все пространство — «пена» взаимосвязанных первичных ячеек.

Линия (прямая) — абстракция — последовательность расположенных в одном направлении несоизмеримых с пространством ячеек. Линия всегда дискретна. Дискрет­ность обусловлена наличием бесконечных (вглубь) то­чек на ней. Непрерывной она может быть только мыс­ленно.

Поверхность (плоскость) — многообразие распростра­няющихся в двух направлениях дискретных ячеек.

Объем — область, образованная состоянием взаимо­связанных ячеек, отграниченная от других областей своей нейтральной зоной. Существование нейтральных зон определенной напряженности обусловливает свой­ства каждого из тел

2.4. Геометрия золотых пропорций

Откуда пришли представления о делении отрезков в среднем и крайнем отношении, позволяющем получать золотое число Ф и образующие пропорцию, названную Леонардо да Винчи «золотым сечением», неизвестно. Ho в Древней Греции на основе золотого числа Ф = 1,618 получали ряд из 11 чисел посредством последова­тельного умножения базисной 1 на Ф (восходящая ветвь ряда) и делением базисной 1 на Ф (нисходящая ветвь ряда), имеющий название золотого ряда и бесконечный, при продолжении, в обе стороны:

...; 0,034; 0,056; 0,090; 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1,000; 1,618; 2,618; 4,236; ... и т.д.

(греческий ряд [37]). Каждое число этого ряда представляет собой иррациональную (бесконечную) по­следовательность цифр, округленных до 4 знаков. Како­во собственное значение этих чисел, и к какой геометрии они относятся — неизвестно тоже, а потому числа эти стоят на обочине и геометрии и физики.

Золотое число Ф = 1,618... получается несколькими способами, оно из которых — деление отрезка в край­нем и среднем отношении.

Отметим, что в постановке задачи говорится о делении одного отрезка на две не­равные части а и с так (рис. 16), чтобы весь отрезок (а + с) относился к большей части с, как с к меньшей части а.

Запишем это отношение:

(а + с)/с = с/а (2.1)

Пропорция (2.1) носит Рис. 16.название золотой.

В данном случае подразумевается конечная в рациональных чис­лах длина отрезка (а + с), кратная некоторому изме­рительному инструмен­ту. В условии задачи нигде не говорится о невозможности его целочисленного или дроб­ного рационального деления и об иррациональности двух (?) образующихся при делении отрезков.

Это очень важная оговорка. Она подтверждает непреднамеренный, а как бы вероятностный или даже случайный характер деления. Проверим эту случай­ность. Проведем решение (2.1), заменив отношение с∕а нa b:

b = c/a (2.2)

и, подставив (2.2) в (2.1), получаем квадратное уравне­ние

b² – b – 1 = 0, (2.3)

решая которое, находим величину b:

b₁ = (1+ √5)/2 = Ф = 1,6180339, (2.4)

b₂ = (l – √5)/2 = – 1/Ф = – 0,6180339. (2.4)

Золотое число Ф – является числом иррациональным. То есть таким числом, бесконечная последо­ватель-ность которого не может быть вычислена до конца, сколько бы времени его ни вычисляли.

Отмечу, что любое иррациональное число — не коли­чественное число. Оно индивидуально, не имеет одно­значного количественного выражения и отображает своего рода математическое качество. Оно отражает неограниченную количественную величину и не может точно складываться как с рациональными, так и с ирра­циональными числами (качества не складываются). Оно квантованный (выделенный из числового ряда) элемент числового ряда, обособленный от него и не примыкаю­щий ни к одному большему или меньшему числу. Все операции с ним проводятся с приблизительной точно­стью. Повторяю — это качественная индивидуальность, и, следовательно, бесконечный ряд иррациональных чи­сел не является дурной бесконечностью. С нахождени­ем иррационального числа в математику входит пред­ставление о математическом качестве и квантовании чисел, вне зависимости от того, осознали это математи­ки или нет. Квантованное иррациональное число — осно­ва и предтеча квантованной геометрии. Но вернемся к Ф.

Получив Ф и ее обратную величину, т.е. два числа, мы успокаиваемся, так и не определив, а чему же равны числа а и с в формуле (2.1) и какое отношение они име­ют к b, тем более, что подстановка b в (2.2) с после­дующим выходом на (2.1) не приводит к определению величин а и с, а следовательно, и не решает поставлен­ную задачу.

Тогда зачем же мы находим b? Ответ — только для того, чтобы получить точную величину Ф, поскольку знаем, что это число — основа золотой пропорции. Но что скрывает это число? В чем суть золотой пропорции?

Попробуем решить (2.1) другим путем. Умножим чис­литель и знаменатель левой части отношения (2.1) на а, правой на с и, сократив знаменатели, получаем следую­щее уравнение:

а² + ас = с². (2.5)

Уравнение (2.5) по количественной величине а и с оказывается полностью неопределенным. Ее члены, хо­тя и зависимы друг от друга, могут составлять пропор­ции при любых числовых значениях одного из них. Ес­ли же в (2.5) вместо ас подставить

b² = ас, (2.6)

то уравнение (2.5) из простой пропорции превратится в теорему Пифагора:

а² + b² = с². (2.7)

Поскольку операция замены ас на b² при данных ог­раничениях возможна только в единственном случае, когда а = √Ф, то в исполнении (2.7) числа а, b, с оказы­ваются однозначно связанными с золотым числом Ф. И, как следствие, члены уравнения (2.7) становятся гео­метрически квантованными относительно золотого числа. Какую бы количественную величину они не име­ли они всегда остаются степенью числа Ф. Появление квантованной по золотому числу Ф геометрической за­висимости свидетельствует о возможности построе­ния геометрии на квантованных числах или, иначе гово­ря, о возможности построения квантованной гео­метрии. Но вернемся к уравнению (2.7), которое описывает равенство суммы квадратов катетов прямо­угольного треугольника квадрату гипотенузы. В нем индекс b численно отображает большой катет прямо­угольного треугольника. И, следовательно, деление в крайнем и среднем отношении есть деление не на два отрезка, а на три,в пропорциях прямоугольного треугольника, в котором число b = Ф неявно занимает ме­сто одного из катетов. И вместо двух отрезков мы как бы получаем три,образующих новое геометрическое качество — прямоугольный треугольник. Наличие отно­шений (2.2) и (2.6) свидетельствует о существовании еще одного числа i, кратного а, b, с. Для получения i возведем в квадрат (2.2) и, подставляя в него значение b² из (2.6), имеем:

а² ·ас = с², (2.8)

с = а³.

Подставляя величину с из (2.8) в (2.2), получаем:

b = а².

И окончательно:

a⁶ = b³ = c².

Поскольку b имеет два значения b₁ = 1,618, и b₂ = 0,618, то по ним находим i₁, i₂:

i₁ = b³₁ = (1,618)³ = 4,2358,

i₂ = b³₂ = (0,618)³ = 0,236.

Извлекая из i₁ и i₂ корень шестой степени, получаем количественную величину а₁,а₂:

а₁ = ⁶√i₁= ⁶√4,236 = 1,272,

а₂ = ⁶√i₂ = ⁶√0,236 = 0,786.

Проведя извлечение квадратного корня из чисел i, на­ходим значения с:

с₁ = √i₁ = 2,058,

с₂ = √i₂ = 0,4858.

Выясним, какой модуль по длине, рациональный или иррациональный, имеет отрезок, делимый в крайнем и среднем отношении:

с₁ + а₁ = 3,33019... = а₁⁵.

Таким образом, в среднем и крайнем отношении де­лятся только иррациональные отрезки. А это может обо­значать одно — все естественные отрезки сами по себе и сами для себя имеют свою иррациональную метрику, несоизмеримую со стандартной (декретной) метрикой.

Следует обратить особое внимание на то, что способ деления отрезков в крайнем и среднем отношении с использованием теоремы Пифагора, по-видимому, един­ственный,обусловливающий нахождение восьми взаи­мосвязанных и пропорциональных Ф золотых чисел, образующих новый ряд, отличающийся от египетского пропорциональностью каждого числа «коэффициенту» 1,272...:

... 0,183; 0,236;0,300; 0,382; 0,486; 0,618; 0,786; 1,000; 1,272; 1,618; 2,058; 2,618; 3,330; 4,236;5,388;...

Этот удивительный бесконечный ряд иррациональных чисел, названный русским рядом, образующий набор подобных прямоугольных треугольников при придании любой последовательности троек чисел (например, 2,058; 2,618; 3,330; или 0,185; 0,236; 0,300) значимости отрезков. Треугольники образуются и при последова­тельном сдвиге чисел на одну или две цифры (напри­мер, 2,058; 2,618; 3,330 - один треугольник; 2,618; 3,330; 4,236 - другой; 3,330; 4,236; 5,388 - третий и т.д.) Создается впечатление, что они как бы нанизываются друг на друга, образуя невидимую цепочку.

Существование в золотом ряду чисел-отрезков, спо­собных образовывать прямоугольные треугольники, не может быть случайностью. Похоже, что они выпол­няют какую-то неизвестную нам функцию, определяе­мую степенями и последовательностью чисел ряда.

Но можно представить и другую картину. Имеется два ортогональных бесконечных катета, пересекаемых на пропорциональном иррациональном расстоянии парал­лельными линиями, отрезки которых превращаются в гипотенузы. А это уже не цепочка, а плоскость. И сразу же возникает предположение, что прямоугольные тре­угольники есть элементы прямоугольников, а их катеты — стороны прямоугольников. Продолжение катетов — оси координат х и у на плоскости, а гипотенузы — диаго­нали образовавшихся прямоугольников. И прорисовы­вающаяся естественным образом координатная сетка начинает походить на истоки некоей новой геометрии. Посмотрим, что еще скрывается в этом ряду.

Вернемся к теореме Пифагора об образующей плоско­сти и построим ее объемный аналог в трехмерном евк­лидовом пространстве. Проиндексируем любую последовательность из четырех чисел русского ряда исходя из того, что каждые три числа последовательности обра­зуют прямоугольник с двумя сторонами и диагональю: х, у, l, п, где l и n диагонали прямоугольников х, у, l и е, l, п. Они образуют следующие пропорции:

x² + y² = l²,

y_о² + l² = п².

Здесь у по количественной величине равно у_о, но ортогонально ему и х, а потому не складывается с у. Но бу­дучи ортогональной плоскости ху, у_о она приобретает каче­ство третьей координаты – z, и потому, приравняв z = у_о, получаем плоскостной аналог теоремы Пифагора для «трехмерного» пространства:

х² + y² + z² = п². (2.9)

Перед нами достаточно странное уравнение (2.9). Числа одного математического ряда своей взаимосвязью демонстрируют изменяемую по длине пространствен­ную (объемную?) структуру (струну?), у которой попе­речное сечение тоже изменяемая, но равная по высоте и ширине, скрытая за индексацией величина.

В отличие от общепринятой системы координат, ин­дексация которой может содержать произвольный набор чисел, уравнение (2.9) составляется только из четырех иррациональных взаимосвязанных последовательных чисел русского ряда и по своему характеру является квантованной системой, т.е. качественно новым матема­тическим образованием. Возникает вопрос: Случайно ли получается квантованная координатная система? Или она может послужить основанием для построения кван­тованной геометрии? Для ответа на этот вопрос про­должим преобразования уравнения (2.9). Перенесем все ее индексы в правую часть и получим запись одинако­вую по форме как для динамической, так и для статиче­ской геометрии:

0 = п² – х² – у² – z². (2.10)

Рассматривая уравнение статической геометрии (2.10) Гильберт и Клейн предположили, что если приравнять п²=1, то может существовать геометрия, в которой (2.10) имеет следующий вид:

0 ≠ 1² – х² – у² – z². (2.10′)

Поскольку правая часть уравнения не равна 0, то вме­сто 0 можно поставить s², и уравнение принимает вид:

s² = l² – x² – y² – z². (2.11)

Геометрия с таким основанием была названа псевдо­евклидовой геометрией. Именно ее использовал Минковский для введения «четвертого» измерения — време­ни t посредством приравнивания l²= сt:

s² = с²t² – х² – у² – z². (2.12')

И это уравнение (2.12'), отображающее не четырех­мерный объем, а «рассечение» трехмерного простран­ства пятью плоскостями утвердилось в науке под на­званием «четырехмерный мир Минковского». Однако ни уравнение (2.11) ни (2.12') не являются аналогами урав­нений динамической геометрии (2.9) и (2.10), поскольку в них за координатной индексацией могут скрываться любые комбинации не связанных между собой чисел как рациональных, так и иррациональных (Например, квадрат произведения времени на скорость никак не связан с квадратами координатных осей.) А уравнения (2.9) и (2.10) образуются только иррациональными чис­лами любых трех последовательных чисел русского ря­да. Ни s ни п в данное уравнение, по-видимому, ввести невозможно, поскольку другие члены ряда не образуют соответствующих пропорций. И чтобы осуществить подстановку п в (2.10) так, чтобы получилось равенство вида п² = 1² – s² , необходимо «выйти» за пределы рус­ского ряда во вне, отыскать матрицу, содержащую поле взаимосвязанных иррациональных чисел и включаю­щую в свою структуру русский ряд. И такая матрица была найдена еще до рассмотрения данного ряда [37,38].