Золотые размеренности физики

Покажу, что за традиционно понимаемой незыбленностью и конечностью количественных отношений скрывается динамика качественных отношений, определяющая размеренность нашего мира.

Процессом, отображающим природную гармонию движения, являются золотые отношения (пропорции). Золотая гармония это не просто математический аппарат, это система гармонически взаимосвязанных чисел, элементов фигур, или физических свойств, образующих математическую систему, отображающую динамические взаимосвязи свойств тел.

Эта, еще неизвестная науке, гармония пронизывает все научные дисциплины, образуя единую систему знаний.

Одной из задач геометрии является деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Решением этой задачи, как показано выше, являются два алгебраических отношения:

Первое; квадратное уравнение вида:

b² – b – 1 = 0, (2.12)

из (2.12) находятся взаимообратные золотые иррациональные числа: Ф = b = 1,618…; и 1∕Ф = 1∕b = 0,618…, произведение которых равно единице. Дробная часть иррациональных чисел названа в [39] мантиссой. Будем придерживаться этого названия.

Второе; пропорциональная взаимосвязь элементов деления отрезка [40]:

а⁶ = b³ = с², (2.13)

где а – меньшая сторона отрезка равная √Ф = 1,272…, b – представлено отрезком равным Ф = 1,618, и с = √Ф³ = 2,058…– большая сторона отрезка. Они образуют золотой прямоугольный треугольник:

а² + b² = с².

Через отношения (2.12)-(2.13) происходит первый качественный переход (скачок) от геометрии к алгебре – геометрические элементы преобразуются в алгебраические символы, теряя все свойства фигур и в первую очередь размеренность. Размеренность это качество, отличающее размерностную физику и геометрию от безразмерностной статической алгебры. Хотя в мышлении за алгебраическими символами продолжают мыслиться операции со статическими геометрическими фигурами.

Иррациональные взаимообратные числа Ф = 1,618; 1∕Ф = 0,618; Ψ = √Ф = 1,272; 1∕Ψ = 1∕√Ф = 0,786 обусловливают возможность получения золотой геометрической прогрессии со знаменателем q = Ф. Еще в Древней Греции последовательным делением базисной 1 на Ф получали левую убывающую ветвь этой прогрессии, а умножением той же 1 на Ф получали правую возрастающую ветвь.

0 …q^-п … q^-3q^-2 q^--1 1® q¹® q²® q³® …q^п® ¥ (2.14)

Поскольку члены прогрессии (2.14) неоднократно используются в дальнейшем, приведем числовой фрагмент этого ряда:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854;11,09;… (2.15)

Базисная 1 - центр прогрессии, как бы нейтральна, и отделяет левую часть ветви от правой. Она число другого качества, единственное рациональное число среди чисел иррациональных. На одинаковом расстоянии справа и слева от базисной 1 находятся взаимообратные золотые числа, соотношение которых, как показано в [40], удовлетворяет формуле:

N = √(qⁿq^-n) = 1,

а отношения их определяется зависимостью:

N′ = qⁿ ± q^-n,

где «плюс» соответствует четному показателю, а «минус» нечетному. Для данной последовательности справедлива рекуррентная формула, по которой каждый член ряда равен сумме двух предшествующих чисел:

qⁿ = q^n-2 + q^n-1.

И складывая попарно взаимообратные числа пропорции (2.15), например:

1,618 + (-0,618) = 1; 2,618 + 0,382 = 3; 4,236 + (-0,236) = 4; … и т.д.,

получаем числовую последовательность ряда Люка:

1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76; 123; и т.д.

Рассмотрим, какой механизм определяет существование последовательностей Люка, аналогичной последовательности Фибоначчи, любой пары слагаемых последовательности чисел и золотых пропорций, обусловливая рекуррентную зависимость, например, со сдвоенным слагаемым.

Рекуррентное соотношение, структурируемое последовательным сложением любых чисел, базируется на том, что число – сумма двух предыдущих слагаемых, образует некоторую виртуальную числовую конструкцию, в которой каждое слагаемое занимает определенное место. Эта конструкция при последующем сложении не изменяется. И числа, «помня» о своем месте в ней, сдвигаются, не нарушая сложившейся структуры, так что последующее число, включает в себя предыдущие. Это можно показать, составив ряд, например, Люка для числа n = 11 из входящих в него чисел и показать последовательность их чередования.

1 2 3 4 5 6 7 …

q¹; q²; q³; q⁴; q⁵; q⁶; q⁷

q¹; q² (q¹+q²); (q¹+q²+q²); (q³+q²+q³); (q⁴+q³+q⁴); (q⁵+q⁴+q⁵); (2.16)

1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; …

1; 3 (1+3) (1+3+3) (4+3+4) (7+4+7) (11+7+11)…

7 + 2 х 11 = 29 и т.д.

И в обобщенной форме со сдвоенным слагаемым:

qⁿ = q^n-3 + 2q^n-2. (2.17)

Внутренняя» структура членов ряда Люка, как и других золотых рядов, начиная с четвертого числа от начала, включает в себя три суммируемых предшествующих члена. Первый – отстоит от него на два интервала, второй – на один интервал и повторяется дважды. С пятого числа структура, включая те же три суммируемых члена, изменяется по числовому составу. Первый и последний член отстоят на один интервал, а средний – на два интервала. Процесс сложения отображает некую «внутреннюю» динамику качественно-количественного переме-щения членов ряда в числах последовательности. Эту структуру образуют все ряды последовательного сложения любой пары чисел. Именно она обеспечивает разнообразную рекуррентность их членам. Назовем это соотношение «сдвоенность».

Вот эта, начинающаяся с пятого члена ряда пропорции, сдвоенность предыдущего числа в тройственности чисел и является главным свойством золотой пропорции. Сдвоенность в тройственности, скрывающаяся в последовательности золотых чисел, есть математическая основа всего инвариантного вещественного мира, его внутренней динамичности. Именно она и обуславливает рядам Фибоначчи, Люка и другим, например, (2.14) золотые свойства. Она же является переходом от десятеричной системы счисления к двенадцатеричной [41]и превращает рекуррентные критерии в критерии золотых соот-ношений и в арифметике, и в алгебре, и в геометрии. Ни одно другое соотношение математики не обладает данными качествами.

Структура золотой прогрессии (2.14) считается стандартной. Она, как и «все» геометрические прогрессии, подчиняется трем известным соотношениям, которые считаются фундаментальными:

qⁿ = q^n-2 + q^n-1, – рекуррентность.

qⁿ = q¹∙q^n-1, – мультипликативность. (2.18)

qⁿ ↔ q^-n – симметрия подобия.

Как было показано выше (2.17) соотношения (2.18)не единственны [42],а потому не фундаментальны. Видов их много. Они проявляют себя в золотых матрицах и названы в [39] матричной вязью, о чем ниже.

Аналогично (2.14) строится прогрессия (2.19) со знаменателем Ψ, которая названа в [43] русской прогрессией:

0←Ψⁿ…←Ψ^-3←Ψ^-2←Ψ^-1←1→Ψ¹→Ψ²→Ψ³→…Ψⁿ →∞ (2.19)

Геометрическая прогрессия (2.19) обладает особенностями, выделяющими ее из стандартных прогрессий (номер- степень):

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0,382; 0,486; 0,618; 0,786; 1,00; 1,272; 1,618; 2,058; 2,618; 3,330; (2.20)

Обе прогрессии (2.14) и (2.19) имеют ось симметрии, базисную 1, левую и правую ветви и взаимообратные числа в ветвях, равноотстоящие от базиса. Прогрессия (2.19) обладает свойствами мультипликативности, и симметрией подобия. Дополнительно к (2.18) проявляют себя свойство рекуррентности через интервал. Например:

Ψⁿ = Ψ^n-4 + Ψ^n-2, (2.21)

рекуррентности с членом, умноженным на целое число.

Например:

Ψⁿ = Ψ^n-3 + 2Ψ^n-2, (2.22)

«смешанной» рекуррентности, когда результат суммы чисел в степени и без нее тоже является членом этого ряда. Например, для первого члена:

Ψⁿ = (Ψ^n-5)² + Ψ^n-4, (2.23)

и степенной рекуррентности, сложение, например, квадратов двух последовательных членов ряда дает число, находящееся в том же ряду:

Ψⁿ = (Ψ^n-2)² + (Ψ^n-1)². (2.24)

Отметим, числа каждого члена ряда можно рассматривать как значения длин некоторых отрезков и отрезки эти, в своей последовательности, могут образовывать геометрическую фигуру - прямоугольный треугольник [37]. Это, еще одно, удивительное свойство бесконечного, иррационального ряда чисел, образовывать набор подобных золотых прямоугольных треугольников, причем при придании любой последовательности троек чисел ряда (например, 2,058; 2,618; 3,330; или 0,236; 0,300; 0,382) значимости отрезков. Треугольники «образуются» и при последовательном сдвиге чисел на одну или две цифры (например, 2,058; 2,618; 3,330 - один треугольник; 2,618; 3,330; 4,236 - другой; 3,330; 4,236; 5,388 - третий и т.д.).

Но можно представить и другую картину. Имеются два ортогональных бесконечных катета, пересекаемых на пропорциональном иррациональном расстоянии параллельными линиями, отрезки которых превращаются в гипотенузы. И это уже не цепочка, а плоскость. И возникает предположение, что прямоугольные треугольники есть элементы прямоугольников, а их катеты – стороны прямоугольников. Продолжение катетов - оси координат х и у на плоскости, а гипотенузы - диагонали образовавшихся прямоугольников. И прорисовывающаяся естественным образом координатная сетка начинает проявляться как образ некоей новой квантованной геометрии.

Прогрессия (2.19) имеет более существенное отличие от всех геометрических прогрессий, чем наличие в ней системного рекуррентного свойства. Она образует двухрядовую структуру [37]и заполнена, вроде бы, нечетными, не золотыми членами. Но нечетные, как и четные золотые члены ее ветвей через интервал всякий раз пропорциональны Ф и создают внутри прогрессии два качественно различных иррациональных ряда: один золотой тождественный (2.14), второй подобный ему золотой ряд – который практически не встречается в математической литературе. Данный ряд выпадает по структуре из системы геометрических прогрессий. Покажем это, вычленив из ряда (2.19) все нечетные числа и образовав из них новую последовательность – золотую пропорцию без базисной единицы:

…0,115; 0,185; 0,300; 0,486; 0,786; 1,27; 2,06; 3,33; 5,39; 8,72… (2.25)

Золотая пропорция (2.25) необычна уже тем, что у нее отсутствует базисный центр 1, а, следовательно, нисходящая и восходящая ветви, хотя взаимообратные пары сохраняются. Получается так, что весь ряд в одну сторону восходящий, а в другую – нисходящий. Он не подчиняется симметрии подобия, все же остальные соотношения сохраняются. Именно на принципе ряда без центра построена древнерусская метрология как система соизмерительных инструментов – саженей [43,44,45].

Отметим, что в принципе может быть получено множество золотых пропорций, имеющих знаменателем как Фⁿ так и ⁿ√Ф, и все их члены будут взаимообратными золотыми в интервале, обусловленном степенью при Ф.

Известно, что геометрическая прогрессия с целым или дробным знаменателем, не равным Фⁿ, в алгебре не связана с золотыми числами и отображает последовательность пропорционально изменяемых равнозначных числовых величин. Тем не менее, знаменатель любого ряда геометрической прогрессии типа (2.14) всегда можно представить как произведение двух чисел, одно из которых Ф, а другое U – частное от деления знаменателя q на Ф. И тогда геометрические прогрессии типа (2.14) приобретает следующий вид:

U¹Ф¹; U²Ф²; U³Ф³; …; UⁿФⁿ. (2.26)

От геометрической прогрессии (2.26) можно перейти к золотому ряду простым сокращением каждого члена ряда q^п на соответствующее частное Uⁿ:

q¹∕U¹; q²∕U²; q³∕U³; q⁴∕U⁴; …; q^п∕Uⁿ. (2.27)

Геометрическая прогрессия (2.27) является золотой прогрессией, а в числовой записи – греческим или русским рядом. Отсюда можно заключить, что гармонические числовые ряды всех геометрических прогрессий опосредованно включают в себя числа русского или греческого ряда. Данные пропорции обуславливают структуру алгебраических квадратных уравнений,и построение русских объемных матриц [45].

Отметим также, что любое число имеет свой взаимообратный аналог, а, следовательно, включено во множество геометрических прогрессий. Для нахождения отношения к золотому числу достаточно возвести его в квадрат и определить пропорциональность золотым числам Ф и Ψ.

Вернемся к уравнению (2.3) и рассмотрим его связь с золотыми числами. Это вариант обыкновенного алгебраического квадратного уравнения с одним неизвестным. Общий вид этого уравнения:

aх² + bх + c = 0. (2.28)

Как известно, в результате его решения получаем два корня:

x_1,2 = [–b ± √(b²– 4ac)] ⁄2a (2.29)

Однако общее уравнение (2.28) не используется для получения золотых чисел, поскольку подкоренное уравнение может оказаться мнимым. Его искусственно упрощают, положив в (2.28) а = 1, b = –1 и с = –1, и уравнение приобретает вид (2.3), а решение (2.29) оказывается следующим:

х_1,2 = [1 ± √(1 + 4)] ⁄2 = (1 ± √5) ⁄2. (2.30)

При извлечении корня из 5 находим очень интересное иррациональное число:

√5 = 2,236067978… . (2.31)

Оно хорошо изучено и часто используетсядля объяснения результата решения золотых пропорций. Как известно, для получения золотого числа Ф к нему прибавляется 1 и образовавшаяся сумма делится на 2. Т.е. по (2.31) вычисляется величина х₁ = Ф:

Ф = х₁ = (2,236067978 + 1)⁄2 = 1,618033989… .

Посмотрим, какое число получится, если из (2.31) вычесть Ф:

2,236067978 – 1,618033989 = 0,618033989.

Т.е. число 2,236067978… составлено из двух чисел: из золотого числа Ф и взаимообратного ему золотого числа 1⁄Ф. Обозначим число (2.31) через русскую букву П:

П = (1⁄Ф + Ф), (2.32)

Назовем операцию сложения (2.32) способом взаимообратного сложения. Именно этот способ использован выше для получения ряда Люка. Отметим, что число П проявляет себя во многих математических операциях, и возведем обе части (2.32) в квадрат:

П² = 5 = (1⁄Ф + Ф)² = 0,382 + 2(0,618·1,618) + 2,618. (2.33)

Обратим внимание на произведение взаимообратных чисел 2(0,618∙1,618). Из него следует, что результатами решения квадратных уравнений типа (2.33), первые и последние члены которых взаимообратны, будут иррациональные числа, определяемые величиной b. Сложив первое и третье в (2.33), имеем в натуральных числах:

П² = 2 + 3 = 5.(2.34)

Последовательность 2, 3, 5, фрагмент ряда Фибоначчи и поэтому и в виде П, и в виде отдельных чисел 2, 3, 5 встречается во многих как золотых, так и просто гармонических отношениях. Формулу (2.32) можно превратить в квадратное уравнение. Перенесем ее члены в одну сторону, убрав знаменатель, заменим Ф на х и приравняв П = 0, получим квадратное уравнение с одним неизвестным:

х² – 2,236х + 1 = 0. (2.35)

В уравнении (2.35) очень важно появление знака плюс перед свободным членом. Его решение:

х₁₂ = [2,236±√(5–4∙1∙1)] ∕2; х₁ = 1,618, х₂ = –0,618. (2.36)

И, хотя результат решения (2.36) аналогичен (2.30), следует отметить, что в подкоренном выражении появляется знак минус, а свободный член равен П. Эти знаки в (2.35) и (2.36) не встречаются на сегодня в квадратных уравнениях теории золотых пропорций. К тому же уравнение (2,35) включает иррациональное число, которое и обусловливает получение золотых чисел иначе, чем по (2.3).

Отметим, что подкоренное выражение в (2.30) получаемое в результате решения (2.3) записывается как составленное из двух чисел √(1 + 4). Однако, оно, как следует из (2.36), составлено из четырех чисел. Это тоже важно, поскольку за отбрасываемыми единицами могут скрываться взаимообратные числа, и произведение этих чисел в подкоренном выражении будет аналогом произведения единиц. Учитывая это, можно предположить, что подкоренное выражение в решениях обыкновенного квадратного уравнения представляет собой разность или сумму квадратов двух чисел b² ± n²:

х_1,2 = [–b ± √(b² ± n²)] ⁄2а. (2.37)

А это и есть проявление скрытой сущности обыкновенного квадратного уравнения, в котором вместо 4ас восстановлен n² = √4ас. Не останавливаясь на анализе (2.37), отметим, что для получения, в результате решения, взаимообратных золотых чисел или чисел с мантиссами в исходном уравнении (2.3) должно быть:

• либо отдельные, либо все а, b, и с квадратного уравнения, золотые числа (ритмика числовых рядов);

• либо а = 1, –b, — любое число, а с = –1. В частности результат (1 ± √5)⁄2 получается из (2.3) и при b = 2, а n = 1, и при b = 1, а n = 2.;

• либо произведение а на с равняется единице: а ∙ с = 1 (т.е. а и с взаимообратные числа).

Отметим, что числовые величины с мантиссами получаются в (2.370 при n = 1,2,3, …, при этом, золотые числа получаются в том случае, когда сумма (b² + n²) разлагается на квадратное число и П². Например: √(1 + 4) = √1·5. Это произведение и обусловливает появление взаимообратных золотых чисел:

х₁₂ = [4 ± √(16 + 4)] ∕2 = (4 ± √4∙5) ∕2,

х₁ = 4,236; х₂ = − 0,236.

Все остальные числа, полученные из решения уравнения (2.3), отображая ту или иную числовую гармонию, прямого отношения к золотому множеству не имеют, поскольку не соответствуют критериям рекуррентности или соотношению квадрата числа с золотыми числами.

Приведем пример получения чисел с мантиссами при использовании в (2.32) взаимообратных золотых чисел

П = (0,618х + 1,618)².

Варьируя числами при П = 0, можно получить два варианта уравнений:

0,382х² + 2х + 2,618 = 0, (2.38)

2,618х² + 2х + 0,382 = 0,

и решить их.

х = [–2 ± √(4 – 4∙2,618∙0,382)]∕2∙2,618 = – 0,382.

х₁ = [–2 ± √(4 – 4∙0,382∙2,618)]∕2∙0,382 = – 2,618.

Итак, имея в квадратном уравнении взаимообратные золотые числа и 2 при неизвестном, в результате получаем не два решения, а одно со знаком минус, – золотое число, то, которое в уравнении было свободным членом.