И динамических нагрузках

Специфика расчета на прочность пластинок определяется видом уравнения их состояния в перемещениях. Так как расчет плоского напряженного состояния рассматривается в курсе МСС, то здесь рассмотрим уравнение состояния пластинок при изгибе. Из вариационного уравнения (2.143) следует, что состояние изгиба определяется единственной неизвестной функцией w(x,y,t) – перемещением точки срединной плоскости по направлению нормали.

Уравнение состояния пластинки при изгибе можно получить 2 способами:

1) составить дифференциальное уравнение равновесия элемента пластинки и затем выразить внутренние силовые факторы с помощью соотношений между ними и кривизнами срединной поверхности.

2) из вариационного уравнения изгиба получить уравнение состояния как условие минимума этого функционала.

Рассмотрим состояние изотропной пластинки однородной по толщине.

Составим уравнение равновесия элемента пластинки, уравнение движения получим, добавив к распределенной нагрузке силы инерции.

Если ограничиться только изгибными моментами, то уравнение проекции всех сил на ось z удовлетворяется только, если нет распределенной поперечной нагрузки. Чтобы уравновесить эту нагрузку вводят поперечные силы, которые нарушают статическую гипотезу:

(2.148)

Тем самым можно утверждать, что теория пластинок, основанная на приведенных ранее гипотезах внутренне противоречива и введение , есть способ разрешения этого противоречия.

(*)

Уравнение моментов относительно оси BD:

(**)

Уравнение моментов относительно оси CD:

(***)

Подставляя (**) и (***) в (*), получим

(2.149)

В уравнение (2.149), не содержащее поперечных сил следует подставить выражения моментов через кривизны. В результате получается дифференциальное уравнение в частных производных 4-го порядка относительно поперечного перемещения .

Для изотропного материала уравнение состояния оказывается простым.

(2.150)

(2.150а)

Уравнение динамики получим, добавив к распределенной нагрузке силы инерции

(2.151)

Уравнения (2.150) и (2.151) должны сопровождаться граничными условиями. Уравнения (2.150) и (2.151) имеют строгие аналитические решения только в отдельных частных случаях:

1) прямоугольная пластинка, шарнирно-опертая по контуру (статика и динамика);

2) пластинка шарнирно-опертая по противоположным сторонам с двумя другими свободными краями;

3) круговая пластинка при осесимметричной нагрузке (статика и динамика).

При общем виде граничных условий решение задач статики и динамики пластинок можно найти только численно (методом конечных элементов).