Аналитические решения задач теории пластинок

Пример 1. Статическое нагружение прямоугольной шарнирно-опертой пластинки.

Уравнение состояния в декартовых координатах будет иметь следующий вид:

Решение задачи удобно представить в виде двойного тригонометрического ряда:

(*)

Правая часть представляет разложение в аналогичный ряд:

Дифференцируя уравнение (*) надлежащее количество раз, получим

Нетрудно убедиться, что приведенное решение удовлетворяет краевым условиям и дифференциальному уравнению состояния.

Пример 2. Шарнирно-опертая по контуру прямоугольная пластинка, нагруженная сосредоточенной силой, статически приложенной в точке с координатами , .

Наиболее просто задачи со сосредоточенными силами и моментами решаются методом Ритца-Галеркина с использованием вариационного уравнения с изгибом.

Уравнение (*) рассматривается как разложение прогиба по функциональному базису , , коэффициенты которого следует определять из вариационного уравнения. При вычислении этих коэффициентов следует учесть, что

Входящие в вариационное уравнение произведения кривизны выражаются через базисные тригонометрические функции и могут быть легко вычислены с учетом свойств тригонометрических функций.

Преобразуя аналогично остальные составляющие вариационного уравнения, запишем выражение элементарной работы внутренних сил:

В уравнении (2.140) отсутствует распределенная нагрузка, но имеется сосредоточенная сила, которая производит работу на перемещение представленной функции (*).

Дополним уравнение (2.140) элементарной работы сосредоточенной силой .

Т.к. вариация есть независимая, одновременно числа, то для определения имеем систему уравнений с диагональной матрицей:

Пример 3. Свободные колебания прямоугольной шарнирно-опертой пластинки.

В уравнении (2.140) учтем силы инерции. Элементарная работа этих сил будет следующей:

Или с учетом разложения (*), приводится к виду:

Учитывая, что - независимая, функция, получаем обыкновенную дифференциальную систему второго порядка для определения коэффициентов .

,

где - закон изменения распределенной нагрузки по времени.

Считается, что сосредоточенная сила изменяется по заданному закону. Для сокращения обозначается . Если ввести обозначение

,

то система дифференциальных уравнений для пластинки приобретает вид модального разложения:

Зависимость коэффициентов (*) от времени определяется интегралом Дюамеля:

(**)

Импульсно-переходная переменная есть:

.

При решении задачи о свободных колебаниях в формуле (**) и закон движения произвольной точки пластинки описывается уравнением:

.

и находятся из разложения начальных условий в двойной тригонометрический ряд:

,

.

Пример 4.Вынужденные колебания прямоугольной шарнирно-опертой пластинки.

Решение задачи определяется (**) при однородных начальных условиях:

,

.

Решение конкретной задачи сводится к вычислению интеграла по времени вида:

.

Пример 5. Пластинка в виде кругового кольца, нагруженная симметрично относительно оси.

Перейдем к полярным координатам в уравнении Софии Жорне:

Уравнение Софии Жорне является обыкновенным дифференциальным уравнением при статическом нагружении и гиперболическим уравнением с двумя переменными при динамическом нагружении.

Задача статики: решается четырехкратным интегрированием.

Для такого состояния пластинки можно давать перемещение , угол поворота , радиальный изгибающий момент и перерезывающую силу .

Для сплошной пластинки (без центрального отверстия) следует поставить условие ограниченности прогиба в центре, положив .

При решении динамических задач для круглых пластинок уравнение состояния имеет вид:

,

решение которого (форма свободных колебаний) представляется через функции Бесселя I и II рода.

,

где - функция Бесселя 0 порядка I рода;

- функция Бесселя 0 порядка II рода;

- модифицированная функция Бесселя 0 порядка I рода;

- модифицированная функция Бесселя 0 порядка II рода;

- определяет частоты свободных колебаний, находящиеся из характеристического уравнения, выражающего равенство нулю определителя системы линейных алгебраических уравнений относительно , реализующий краевые условия.

Характеристическое уравнение трансцендентное и его решение следует искать численными методами.

Форма свободных колебаний определяется как собственные векторы характеристической системы уравнений, и также обладают свойством ортогональности.

Располагая выражением для собственных форм колебаний, определяют спектр собственных частот по формуле

Поперечное перемещение (прогиб) пластинки представляется разложением по собственным формам:

Коэффициенты разложения определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений такого же вида, что и в стержнях, и в прямоугольных пластинках.

Правая часть определяется разложением распределенной нагрузки по формам свободных колебаний

Начальные условия для коэффициентов определяются разложением по тому же базису начального прогиба и начальной скорости

Коэффициенты разложения как и в предыдущих случаях определяются интегралом Бернулли:

Как и ранее первое слагаемое описывает вынужденные колебания, а два последних – свободные.